Dane:

$r=0,5\cdot 10^{-10}\text{m}$

Szukane:

$\lambda =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie długości fali na danej orbicie.

Zgodnie z falowym modelem atomu wodoru elektron krąży po orbitach, których długości są równe całkowitej wielokrotności długości fali materii skojarzonej z elektronem:

$2\pi r_n=n{\lambda }_B$

gdzie:

$r_n$ - promień orbity, po której porusza się elektron,

$n\in \mathbb{N}\backslash \{0\}$ - liczba naturalna odpowiadająca numerowi orbity,

${\lambda }_B$ - długość fali materii de Broglie'a. 

Dla pierwszego promienia atomu wodoru Bohra powyższy wzór ma postać:

$2\pi r=n{\lambda }_B$

Długość fali materii jest równa długości fali elektronu na tej orbicie, więc:

$2\pi r=n\lambda$

Przekształćmy powyższy wzór względem długości fali i otrzymujemy:

$2\pi r=n\lambda \mid :n$

$\lambda =\frac{2\pi r}{n}$

Dla pierwszej powłoki atomowej mamy warunek: $n=1$. Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$\lambda =\frac{2\cdot 3,14\cdot 0,5\cdot 10^{-10}\text{m}}{1}=2\cdot 3,14\cdot 0,5\cdot 10^{-10}\text{m}=$

$=3,14\cdot 10^{-10}\text{m}=3,14\cdot 0,1\cdot 10^{-9}\text{m}=0,314\text{nm}$

Odpowiedź: Długość fali na pierwszej powłoce atomowej wynosi $0,314\text{nm}$.