TREŚĆ:

Zadanie 1.

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej.

Do analizy zadań 1.1 i 1.1 przyjmij model zjawiska, w którym:

• ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu
• ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym
• poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne
• podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome
• przyśpieszenie ziemskie ma wartość $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Zadanie 1.2

Z punktu $A$ w chwili $t_0=0\text{s}$ rzucono kulkę K_A. Prędkość kulki K w chwili $t_0$ miała kierunek poziomy i wartość równą $v_{0A}=8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Z punktu $B$ - w tej samej chwili $t_0$ - rzucono kulkę K_B. Prędkość kulki K_B w chwili $t_0$ miała kierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczamy jako $v_{0B}$.

Rzucone kulki K_A i K_B zderzyły się w chwili $t_z$ w punkcie $C$.

Współrzędne punktów $A$, $B$ i $C$ wyrażone w metrach w kartezjańskim układzie współrzędnych, są następujące:

$A=\left(0;12\right)$

$B=\left(6;0\right)$

$C=\left(6;y_C\right)$

Opisaną sytuację ilustruje rysunek na stronie 5. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne.

Oblicz $v_{0B}$ - wartość prędkości początkowej kulki K_B w punkcie $B$. Zapisz obliczenia.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$v_{0A}=8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$A=\left(0;12\right)$

$B=\left(6;0\right)$

$C=\left(6;y_C\right)$

$g=9,18\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$v_{0B}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości prędkości początkowej kulki K_B w punkcie B, czyli w punkcie, w którym kulka K_B rozpoczęła swój ruch. Na rysunku w treści zadania mamy przedstawione tory ruchów każdej z kulek. Zwróćmy uwagę, że kulka K_A została rzucona poziomo, natomiast kulka K_B została rzucona pionowo w górę. Rozważmy teraz ruch każdej z kulek oddzielnie, ale zaczniemy od rozważenia ruchu kulki K_B, ponieważ to jej wartość prędkości początkowej $v_{0B}$ nas interesuje.

Ruch kulki K_B

Kulka ta została rzucona pionowo w górę, zatem mamy do czynienia z rzutem pionowym w górę.  

RZUT PIONOWY - WYSOKOŚĆ NAD PODŁOŻEM Rzucając ciało z pewnej wysokości w górę, otrzymujemy, że przy pominięciu oporów ruchu porusza się ono ruchem jednostajnie opóźnionym, z opóźnienie ziemskim. Wysokość, na jakiej znajduje się to ciało po pewnym czasie od chwili wyrzutu, możemy przedstawić wzorem: $h=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$ gdzie: $h$ - wysokość, na jakiej znajduje się ciało po pewnej chwili od wyrzutu,  $h_0$ - początkowa wysokość, na jakiej znajdowało się to ciało,  $v_0$ - szybkość początkowa, z jaką wyrzucono ciało w górę,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  $t$ - czas ruchu tego ciała.

W rozważanym przez nas przypadku kulka K_B została wyrzucona z poziomu podłoża, czyli z wysokości początkowej równej:

$h_0=0$ 

Wówczas zapiszemy, że położenie kulki K_B opisuje wzór:

$h_{\text{B}}=v_{0\text{B}}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Zwróćmy uwagę, że wysokość, na jakiej kulka K_B uderza w kulkę K_A opisuje różnica współrzędnych punktów B i C wzdłuż osi $y$, ponieważ kulka ta porusza się jedynie w kierunku pionowym. Zapiszemy więc:

$h_{\text{B}}=y_{\text{C}}-y_{\text{B}}$

Wówczas:

$y_{\text{C}}-y_{\text{B}}=v_{0\text{B}}{t}_z-\frac{1}{2}g{t}_z^2$

gdzie:

$t_z$ - czas, jaki minął od wyrzucenia kulek, do chwili zderzenia.

Teraz przejdźmy do ruchu kulki K_A.

Ruch kulki K_A

Kulka ta została rzucona poziomo z prędkością początkową ${\vec{v}}_{0A}$, zatem jest to przypadek rzutu poziomego.

RZUT POZIOMY - SKŁADOWE PRĘDKOŚCI W czasie ruchu ciała rzuconego poziomo prędkość ciała ulega zmianie i jest wypadkową składowych: poziomej i pionowej. Szybkość początkowa, w kierunku poziomym odpowiada składowej poziomej prędkości tego ciała: $v_x=v_0$ gdzie: $v_x$ - wartość składowej poziomej prędkości ciała,  $v_0$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało.  Natomiast składowa pionowa prędkości zmienia się ze względu na przyspieszenie ziemskie, czyli ma wartość: $v_y=gt$ gdzie: $v_y$ - wartość składowej pionowej prędkości ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  $t$ - czas ruchu ciała.

Uwzględniając oznaczenia, które podane są w treści zadania, zapiszemy, że:

▶ wartość składowej poziomej prędkości kulki K_A: $v_{x\text{A}}=v_{0\text{A}}$

▶ wartość składowej pionowej prędkości kulki K_A: $v_{y\text{A}}=gt$

Zauważmy, że kulka K_A w kierunku pionowym porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem o wartości $g$, ale wartość prędkości początkowej w tym kierunku jest zerowa. Oznacza to, że w kierunku pionowym kulka ta spada swobodnie.

RZUT POZIOMY - WYSOKOŚĆ POCZĄTKOWA Wysokość nad poziomem przyjętym za początkowy, z jakiej spada ciało w rzucie poziomym, przedstawiamy zależnością: $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ gdzie: $h$ - wysokość, z jakiej spada ciało,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  $t$ - całkowity czas spadku tego ciała.

Z rysunku odczytujemy, że wysokość, z jakiej kulka K_A została rzucona względem punktu C, jest równa różnicy współrzędnych punktów A i C wzdłuż osi $y$:

$h_{\text{A}}=y_{\text{A}}-y_{\text{C}}$

Zapiszemy więc:

$y_{\text{A}}-y_{\text{C}}=\frac{1}{2}g{t}_z^2$

gdzie:

$t_z$ - czas, jaki minął od wyrzucenia kulek, do chwili zderzenia.

Moment zderzenia kulek

Z poprzednich rozważań mamy dwa równania, które muszą być jednocześnie spełnione, aby kulki K_A i K_B zderzyły się ze sobą:

$\{\begin{array}{rl}{y}_{\text{C}}-y_{\text{B}}& =v_{0\text{B}}{t}_z-\frac{1}{2}g{t}_z^2\\ y_{\text{A}}-y_{\text{C}}& =\frac{1}{2}g{t}_z^2\end{array}$

Dodajemy równania stronami:

$y_{\text{C}}-y_{\text{B}}+y_{\text{A}}-y_{\text{C}}=v_{0\text{B}}{t}_z-\frac{1}{2}g{t}_z^2+\frac{1}{2}g{t}_z^2$

$y_{\text{A}}-y_{\text{B}}=v_{0\text{B}}{t}_z$

Przekształcamy powyższy wzór:

$v_{0\text{B}}{t}_z=y_{\text{A}}-y_{\text{B}}|:t_z$

$v_{0\text{B}}=\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{t_z}$

Otrzymaliśmy wzór na wartość prędkości początkowej kulki K_B. Jednak zwróćmy uwagę, że nie znamy czasu $t_z$ liczonego od chwili $t_0$⁣, po jakim te dwie kulki się ze sobą zderzyły. W trakcie rozważań ruchu kulki K_A powiedzieliśmy, że w kierunku poziomym kulka ta porusza się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością o wartości:

$v_{x\text{A}}=v_{0\text{A}}$

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNYM Jeżeli ciało porusza się z prędkością o stałej wartości, to drogę przebytą przez to ciało w określonej jednostce czasu możemy obliczyć za pomocą wzoru: $s=vt$ gdzie: $s$ - droga,  $v$ - szybkość,  $t$ - czas ruchu.

W przypadku ruchu kulki K_A  w kierunku poziomym wzór ten przyjmie postać:

$s_{x\text{A}}=v_{x\text{A}}t$

$s_{x\text{A}}=v_{0\text{A}}t$

Z rysunku, który został podany w treści zadania, odczytamy, że kulka K_A, do chwili zderzenia z drugą kulką, musi w kierunku poziomym przebyć drogę równą odległości punktu C od osi $y$. Odległość ta jest równa współrzędnej punktu C wzdłuż osi $x$:

$s_{x\text{A}}=x_{\text{C}}$

Wówczas:

$x_{\text{C}}=v_{0\text{A}}{t}_z|:v_{0\text{A}}$

$\frac{x_{\text{C}}}{v_{0\text{A}}}=t_z$

$t_c=\frac{x_{\text{C}}}{v_{0\text{A}}}$

Wracamy do wzoru na wartość prędkości początkowej kulki K_B:

$v_{0\text{B}}=\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{t_z}$

Podstawiamy wzór na czas $t_z$:

$v_{0\text{B}}=\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{\frac{x_{\text{C}}}{v_{0\text{A}}}}$

$v_{0\text{B}}=\left(y_{\text{A}}-y_{\text{B}}\right):\frac{x_{\text{C}}}{v_{0\text{A}}}$

$v_{0\text{B}}=\left(y_{\text{A}}-y_{\text{B}}\right)\cdot \frac{v_{0\text{A}}}{x_{\text{C}}}$

$v_{0\text{B}}=\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{x_{\text{C}}}{v}_{0\text{A}}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$v_{0\text{B}}=\frac{12-0}{6}\cdot 8\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{12}{6}\cdot 8\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=2\cdot 8\frac{\text{m}}{\text{s}}=16\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Kulka K_B została wyrzucona z punktu B z prędkością o wartości $16\frac{\text{m}}{\text{s}}$.