TREŚĆ:

Zadanie 2.

Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowo symetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie (zobacz rysunek poniżej). Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.

Przyjmij następujące dane:

• promienie walców są sobie równe: $R_1=R_2=R$
• masy walców są sobie równe: $m_1=m_2=m$ (walce wykonano z różnych materiałów)
• momenty bezwładności walców W1 i W2 względem osi każdego z nich wyrażają się - odpowiednio - wzorami: $I_2=k_{1}m{R}^2$ oraz $I_2=k_{2}m{R}^2$ gdzie $k_1$ i $k_2$ są pewnymi współczynnikami oraz $k_1\cancel{=}{k}_2$.

Rysunek (widok z boku)

Uwzględnij następujące założenia i warunki:

• siły tarcia statycznego pomiędzy każdym z walców a powierzchnią równi nie osiągnęły wartości maksymalnych
• pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu
• ruch walców rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Zadanie 2.1.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe albo F - jeśli jest fałszywe.

---

ROZWIĄZANIE:

1. Zdanie jest PRAWDZIWE. Zwróć uwagę, że moment bezwładności zależy od odległości masy punktowej od osi obrotu. Im większa część masy danego ciała znajduje się bliżej osi obrotu, tym mniejszy jest jego moment bezwładności.

2. Zdanie jest PRAWDZIWE. Oba walce startują z wysokości $h$ i staczają się bez poślizgu, więc siła tarcia jest statyczna i nie wykonuje pracy. Energia mechaniczna jest zatem zachowana. Niezależnie od wartości $k$, które są różne dla W1 i W2, suma części energii kinetycznej postępowej i obrotowej równa jest zawsze tej samej utraconej energii potencjalnej $E_p=mgh$. Zatem u podnóża równi całkowite energie kinetyczne obu walców są równe.

3. Zdanie jest FAŁSZYWE. Skorzystajmy z zasady zachowania energii mechanicznej dla ogólnego przypadku. Rozważmy walec o momencie bezwładności $I=km{R}^2$. Prędkość początkowa walca była równa zero. Na górze równi energie kinetyczne walca będą miały zerowe wartości, ale energia potencjalna już nie. Zatem:

$E_{p.0}=mgh$

gdzie:

$E_{p.0}$ - energia potencjalna walca na górze równi,

$m$ - masa walca,

$h$ - wysokość równi.

$E_{k.0}=0$

gdzie:

$E_{k.0}$ - energia kinetyczna ruchu postępowego na górze równi.

$E_{k.ob.0}=0$

gdzie:

$E_{k.ob.0}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego na górze równi.

U podstawy równi walec będzie posiadał zerową energię potencjalną, ale energie kinetyczne ruchu obrotowego i postępowego będą posiadały pewne wartości.

$E_{p.1}=0$

gdzie:

$E_{p.1}$ - energia potencjalna walca na dole równi.

 Zatem energię kinetyczną w ruchu postępowym dla walca po stoczeniu się z równi przedstawimy wzorem:

$E_{k.1}=\frac{1}{2}m{v}_{}^2$

gdzie:

$E_{k.1}$ - energia kinetyczna ruchu postępowego dla walca,

$m_{}$ - masa walca,

$v_{}$ - szybkość walca po stoczeniu z równi.

Energię kinetyczną w ruchu obrotowym walca po stoczeniu się z równi przedstawimy wzorem:

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

gdzie:

$E_{k.obr.1}$ - energia kinetyczna w ruchu obrotowym walca, 

$I$ - moment bezwładności walca, 

$\omega$ - szybkość kątowa walca po stoczeniu się z równi. 

Zauważmy, że szybkość kątową walca można przedstawić wzorem:

$\omega =\frac{v}{R}$

gdzie:

$R$ - promień walca.

Oznacza to, że energię kinetyczną w ruchu obrotowym walca po stoczeniu się z równi możemy przedstawić wzorem:

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}\cdot km{R}^2\cdot {\left(\frac{v}{R}\right)}^2$

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}km\cancel{R^2}\cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}$

$E_{k.obr.1}=\frac{1}{2}km{v}^2$

 Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej, otrzymujemy, że:

$E_{p.0}+E_{k.0}+E_{k.obr.0}=E_{p.1}+E_{k.1}+E_{k.obr.1}$

$mgh+0+0=0+\frac{1}{2}m{v}_{{}^{}}^2+\frac{1}{2}km{v}^2$

$\bcancel{m}gh=\left(1+k\right)\frac{1}{2}\bcancel{m}{v}^2$

$gh=\left(1+k\right)\frac{1}{2}{v}^2|:\left(1+k\right)\frac{1}{2}$

$\frac{2gh}{\left(1+k\right)}=v^2$

$v^2=\frac{2gh}{\left(1+k\right)}|\sqrt{}$

$v_{}=\sqrt{\frac{2gh}{\left(1+k\right)}}$

Moment walca W1 wynosi $I_1=k_{1}m{R}^2$, zatem wartość jego prędkości u podnóża równi zapiszemy wzorem:

$v_1=\sqrt{\frac{2gh}{\left(1+k_1\right)}}$

Moment walca W2 wynosi $I_2=k_{2}m{R}^2$, zatem wartość jego prędkości u podnóża równi zapiszemy wzorem:

$v_2=\sqrt{\frac{2gh}{\left(1+k_2\right)}}$

Wiemy, że $k_2>k_1$, wówczas:

$1+k_2>1+k_1$

a więc:

$\frac{1}{1+k_2}<\frac{1}{1+k_1}|\cdot 2gh$

$\frac{2gh}{1+k_2}<\frac{2gh}{1+k_1}|\sqrt{}$

Zatem:

$\sqrt{\frac{2gh}{1+k_2}}<\sqrt{\frac{2gh}{1+k_1}}$, czyli $v_2<v_1$

Wartość prędkości walca W1 jest większa od wartości prędkości walca W2.