Dane:

$v_1=40\frac{\text{km}}{\text{h}}$

$v_2=60\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Szukane:

$v_{\text{sˊr}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie szybkości średniej motocyklisty, gdy znamy szybkości, z jakimi motocyklista poruszał na połówkach trasy. Możemy zatem ruch motocyklisty podzielić na dwa etapy:

▶ etap 1: motocyklista pokonuje pierwszą połowę trasy z szybkością $v_1$, 

▶ etap 2: motocyklista pokonuje drugą połowę trasy z szybkością $v_2$. 

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

gdzie:

$\Delta s$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu ciała.

W naszym przypadku całkowita droga przebyta przez motocyklistę odpowiada sumie połówek drogi przebytej przez motocyklistę na poszczególnych etapach ruchu:

$s=s_1+s_2$

gdzie:

$s$ - całkowita droga przebyta przez motocyklistę, 

$s_1$ - pierwsza połowa drogi, 

$s_2$ - druga połowa drogi. 

Ponieważ połowy zawsze są sobie równe to prawdą jest, że:

$s_1=s_2=\frac{1}{2}s$

Wówczas zmiana drogi motocyklisty w całkowitym czasie wynosi:

$\Delta s=s$

W ruchu jednostajnym szybkość poruszającego się ciała możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$v=\frac{s}{t}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości ciała, 

$s$ - droga przebyta przez ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała.

Wówczas czas ruchu przedstawimy wzorem:

$v=\frac{s}{t}|\cdot t$

$vt=s|:v$

$t=\frac{s}{v}$

Dla pierwszej połowy drogi czas ruchu motocyklisty będzie miał postać:

$t_1=\frac{s_1}{v_1}$

gdzie:

$t_1$ - czas w jakim motocyklista pokonał pierwszą połowę drogi, 

$v_1$ - szybkość, z jaką motocyklista poruszał się na pierwszej połowie drogi. 

Dla drugiego etapu otrzymamy:

$t_2=\frac{s_2}{v_2}$

gdzie:

$t_2$ - czas w jakim motocyklista pokonał drugą połowę drogi, 

$v_2$ - szybkość, z jaką motocyklista poruszał się na drugiej połowie drogi. 

Zatem całkowity czas ruchu motocyklisty przedstawimy jako sumę czasów ruchu na poszczególnych etapach:

$\Delta t=t_1+t_2$

Oznacza to, że średnia wartość prędkości motocyklisty wynosi:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{t_1+t_2}$

$v_{\acute{s}r}=\frac{s}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s{v}_2}{v_1{v}_2}+\frac{\frac{1}{2}s{v}_1}{v_1{v}_2}}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s}{\frac{\frac{1}{2}s{v}_2+\frac{1}{2}s{v}_1}{v_1{v}_2}}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s{v}_1{v}_2}{\frac{1}{2}s{v}_1+\frac{1}{2}s{v}_2}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\cancel{s}{v}_1{v}_2}{\frac{1}{2}\cancel{s}\left(v_1+v_2\right)}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{2\cdot 40\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 60\frac{\text{km}}{\text{h}}}{40\frac{\text{km}}{\text{h}}+60\frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{4800{\left(\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}^{\cancel{2}}}{100\cancel{\frac{\text{km}}{\text{h}}}}=48\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Odpowiedź: Wartość średniej szybkości motocyklisty wynosi 48 km/h.