Dane:

$T_{\text{Z}}=365\mathrm{dni}$

$r_{\text{Z}}=1\mathrm{AU}$

$r_{\text{A}}=0,922\mathrm{AU}$

Szukane:

$T_{\text{A}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie okresu obiegu asteroidy Apophis. 

III PRAWO KEPLERA Trzecie prawo Keplera mówi, że kwadraty okresów obiegu ciał (np. planet / satelitów) wokół innego ciała niebieskiego (np. gwiazdy / planety) są proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od tego ciała. Prawo to wyrażamy za pomocą wzoru: $\frac{T^2}{r^3}=\text{const}$ gdzie: $T$ - okres obiegu ciała, $r$ - średnia odległość między ciałami. $\text{const}$ - skrót od constans, czyli „stała wielkość”.

Ziemia i asteroida Apophis poruszają się po orbitach wokół Słońca. Dla Ziemi i asteroidy możemy zapisać stosunek dla ich okresów i promieni orbit.

$\frac{T_{\text{Z}}^2}{r_{\text{Z}}^3}=\frac{T_{\text{A}}^2}{r_{\text{A}}^3}$  

gdzie:

$T_{\text{Z}}$  - okres obiegu Ziemi wokół Słońca,

$T_{\text{A}}$ - okres obiegu asteroidy wokół Słońca,

$r_{\text{Z}}$  - średnia odległość Ziemi od Słońca,

$r_{\text{A}}$ - średnia odległość asteroidy od Słońca.

Wyznaczmy okres obiegu asteroidy:

$\frac{T_{\text{Z}}^2}{r_{\text{Z}}^3}=\frac{T_{\text{A}}^2}{r_{\text{A}}^3}|\cdot r_{\text{A}}^3$

$\frac{r_{\text{A}}^3}{r_{\text{Z}}^3}{T}_{\text{Z}}^2=T_{\text{A}}^2$

$T_{\text{A}}^2=T_{\text{Z}}^2{\left(\frac{r_{\text{A}}}{r_{\text{Z}}}\right)}^3|\cdot \sqrt{}$

$T_{\text{A}}=\sqrt{T_{\text{Z}}^2{\left(\frac{r_{\text{A}}}{r_{\text{Z}}}\right)}^3}$

$T_{\text{A}}=T_{\text{Z}}\sqrt{{\left(\frac{r_{\text{A}}}{r_{\text{Z}}}\right)}^3}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$T_{\text{A}}=365\mathrm{dni}\cdot \sqrt{{\left(\frac{0,922\mathrm{AU}}{1\mathrm{AU}}\right)}^3}=365\mathrm{dni}\cdot \sqrt{0,922^3}\approx 365\mathrm{dni}\cdot \sqrt{0,783777}\approx 365\mathrm{dni}\cdot 0,885312\approx$

$\approx 323\mathrm{dni}$

Odpowiedź: Okres obiegu asteroidy Apophis wynosi około $323\mathrm{dni}$.