Skąd biorą się te wzory...- Zadanie Zadanie na marginesie: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Vademecum

Rozwiązanie

Naszym zadaniem jest wykazanie skąd biorą się wzory na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym w postaci:

$s = \frac{v _{0} + v _{k}}{2} \cdot t$ oraz $s = \frac{v _{k}^{2} - v _{0}^{2}}{2 a}$

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Zmianę wartości prędkości możemy przedstawić jako różnicę pomiędzy szybkością końcową, a początkową:

$Δ v = v_{k} - v_{0}$

gdzie:

$v_{k}$ - szybkość końcowa,

$v_{0}$ - szybkość początkowa.

Wyprowadzamy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszony niezależny od wartości przyspieszenia.

Z definicji przyspieszenia wiemy, że:

$a = \frac{Δ v}{t}$

$a = \frac{v _{k} - v _{0}}{t}$

Wówczas:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{v _{k} - v _{0}}{t} \cdot t^{2}$

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} (v_{k} - v_{0}) t$

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} v_{k} t - \frac{1}{2} v_{0} t$

$s = \frac{1}{2} v_{0} t + \frac{1}{2} v_{k} t$

$s = \frac{1}{2} (v_{0} + v_{k}) t$

$s = \frac{v _{0} + v _{k}}{2} \cdot t$

Wyprowadzamy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszony niezależny od czasu.

Korzystając z definicji przyspieszenia możemy zauważyć, że czas ruchu ciała gdy porusza się z przyspieszeniem ma postać:

$a = \frac{Δ v}{t} ∣ \cdot t$

$a t = Δ v ∣ : a$

$t = \frac{Δ v}{a}$

$t = \frac{v _{k} - v _{0}}{a}$

Wówczas ze wzoru na drogę otrzymamy:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

$s = v_{0} \cdot \frac{v _{k} - v _{0}}{a} + \frac{1}{2} a (\frac{v _{k} - v _{0}}{a})^{2}$

$s = \frac{v _{0} ( v _{k} - v _{0} )}{a} + \frac{1}{2} a \cdot \frac{( v _{k} - v _{0} ) ^{2}}{a ^{2}}$

$s = \frac{2 v _{0} ( v _{k} - v _{0} )}{2 a} + \frac{( v _{k} - v _{0} ) ^{2}}{2 a}$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia w postaci $(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y$ :

$s = \frac{2 v _{0} v _{k} - 2 v _{0}^{2}}{2 a} + \frac{v _{k}^{2} + v _{0}^{2} - 2 v _{0} v _{k}}{2 a}$

$s = \frac{2 v _{0} v _{k} - 2 v _{0}^{2} + v _{k}^{2} + v _{0}^{2} - 2 v _{0} v _{k}}{2 a}$

$s = \frac{v _{k}^{2} - v _{0}^{2}}{2 a}$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.