W poniższych zdaniach zaznacz...- Zadanie 2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Vademecum

Rozwiązanie

1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ możemy skorzystać z zależności między energią spoczynkową, całkowitą i pędem.

Przyjmijmy, że znamy energię kinetyczną $E_{k}$ i pęd cząstki $p$ . Energię kinetyczną opisuje wzór:

$E_{k} = E - E_{0}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$E$ - całkowita energia relatywistyczna ciała,

$E_{0}$ - energia spoczynkowa.

Z drugiej strony, istnieje zależność między całkowitą energią całkowitą, spoczynkową i pędem:

$E_{0}^{2} = E^{2} - (c p)^{2}$

gdzie:

$E_{0}$ - energia spoczynkowa,

$E$ - całkowita energia relatywistyczna ciała,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni,

$p$ - wartość pędu.

Z pierwszego równania wyznaczamy wzór na całkowitą energię ciała:

$E - E_{0} = E_{k} ∣ + E_{k}$

$E = E_{k} + E_{0}$

Następnie podstawiamy powyższe równanie do drugiego wzoru:

$E_{0}^{2} = (E_{k} + E_{0})^{2} - (c p)^{2}$

$E_{0}^{2} = E_{k}^{2} + 2 E_{k} E_{0} + E_{0}^{2} - (c p)^{2} - 2 E_{k} E_{0} - E_{0}^{2}$

$E_{0}^{2} - 2 E_{k} E_{0} - E_{0}^{2} = E_{k}^{2} - (c p)^{2}$

$- 2 E_{k} E_{0} = E_{k}^{2} - (c p)^{2} ∣ - 2 E_{k}$

$E_{0} = \frac{E _{k}^{2} - ( c p ) ^{2}}{- 2 E _{k}}$

$E_{0} = \frac{( c p ) ^{2} - E _{k}^{2}}{2 E _{k}}$

Otrzymaliśmy wzór na energię spoczynkową, która zależy jedynie od pędu oraz energii kinetycznej. Natomiast wzór na całkowitą energię przyjmie postać:

$E = E_{k} + E_{0}$

$E = E_{k} + \frac{( c p ) ^{2} - E _{k}^{2}}{2 E _{k}}$

$E = \frac{2 E _{k}^{2}}{2 E _{k}} + \frac{( c p ) ^{2} - E _{k}^{2}}{2 E _{k}}$

$E = \frac{2 E _{k}^{2} + ( c p ) ^{2} - E _{k}^{2}}{2 E _{k}}$

$E = \frac{E _{k}^{2} + ( c p ) ^{2}}{2 E _{k}}$

2. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ wartość pędu relatywistycznego nie jest wprost proporcjonalna do wartości prędkości.

WARTOŚĆ PĘDU RELATYWISTYCZNEGO

Wartość pędu relatywistycznego obliczamy za pomocą zależności:

$p = \frac{m v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$

gdzie:

$p$ - wartość pędu,

$m$ - masa poruszającego się ciała,

$v$ - wartość prędkości, z jaką porusza się ciało,

$c$ - wartość prędkości światła.

Zgodnie z treścią zadania rozważamy wzrost prędkości cząstki o masie $m$ z prędkości o wartości $v_{1} = 1, 2 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ do prędkości o wartości $v_{2} = 2, 4 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ , czyli zwiększamy prędkość dwukrotnie:

$\frac{v _{2}}{v _{1}} = \frac{2 , 4 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s}}{1 , 2 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s}}$

$\frac{v _{2}}{v _{1}} = 2 ∣ \cdot v_{1}$

$v_{2} = 2 v_{1}$

Wyznaczmy więc stosunek wartości pędu ciała:

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = \frac{\frac{m v _{2}}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}}}{\frac{m v _{1}}{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}}}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = \frac{m v _{2}}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}} \cdot \frac{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}}{m v _{1}}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = \frac{v _{2}}{v _{1}} \cdot \frac{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{v _{2}^{2}}{c ^{2}}}$

Podstawiamy zależność $v_{2} = 2 v_{1}$ :

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = \frac{2 v _{1}}{v _{1}} \cdot \frac{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{( 2 v _{1} ) ^{2}}{c ^{2}}}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = \frac{2 v _{1}}{v _{1}} \cdot \frac{1 - \frac{v _{1}^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{4 v _{1}^{2}}{c ^{2}}}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = 2 \cdot \frac{1 - ( \frac{v _{1}}{c} ) ^{2}}{1 - 4 ( \frac{v _{1}}{c} ) ^{2}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ prędkość światła w próżni: $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Najpierw, dla ułatwienia, obliczamy kwadratu ilorazu wartości prędkości $v_{1}$ do wartości prędkości światła $c$ w próżni:

$(\frac{v _{1}}{c})^{2} = (\frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s}}{3 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s}})^{2}$

$(\frac{v _{1}}{c})^{2} = (0, 4)^{2}$

$(\frac{v _{1}}{c})^{2} = 0, 16$

Wracamy do stosunku wartości pędów:

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = 2 \cdot \frac{1 - 0 , 16}{1 - 4 \cdot 0 , 16}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = 2 \cdot \frac{0 , 84}{1 - 0 , 64}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = 2 \cdot \frac{0 , 84}{0 , 36}$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} \approx 2 \cdot 2, 33$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} \approx 2 \cdot 1, 526$

$\frac{p _{2}}{p _{1}} = 3, 052$

3. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ taki elektron poruszałby się z prędkością większą niż prędkość światła co jest niemożliwe.

Zamieniamy jednostkę podanej wartości prędkości:

$v = 4 \cdot 1 0^{5} \frac{km}{s} = 4 \cdot 1 0^{5} \cdot \frac{1 km}{1 s} =$

$v = 4 \cdot 1 0^{5} \cdot \frac{1 000 m}{1 s} =$

$v = 4 \cdot 1 0^{5} \cdot 1 0^{3} \frac{m}{s} = 4 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$

Widzimy więc, że taki elektron poruszałby się z prędkością większą od prędkości światła co nie jest możliwe.

Mateusz Bajda

Nauczyciel fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.