Naszym zadaniem jest uzasadnienie, za pomocą wzorów na pęd oraz energię spoczynkową, równość zwaną niezmiennikiem relatywistycznym:

$E_0^2=E^2-{\left(cp\right)}^2$

gdzie:

$E_0$ - energia spoczynkowa,

$E$ - energia całkowita,

$c$ - wartość prędkości światła,

$p$ - wartość pędu.

Najpierw zapisujemy wzór na całkowitą energię relatywistyczną.

CAŁKOWITA ENERGIA RELATYWISTYCZNA Całkowitą energię relatywistyczną (sumę energii spoczynkowej i kinetycznej) obiektu obliczamy z zależności: $E_{\text{c}}=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ gdzie: $E_{\text{c}}$ - całkowita energia relatywistyczna,  $m$ - masa obiektu,  $c$ - wartość prędkości światła w próżni, $v$ - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt.

Wyznaczamy kwadrat całkowitej energii relatywistycznej:

$E^2={\left(\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)}^2$

$E^2=\frac{{\left(m{c}^2\right)}^2}{{\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)}^2}$

$E^2=\frac{m^2{c}^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Następnie przechodzimy do wzoru na wartość pędu relatywistycznego.

WARTOŚĆ PĘDU RELATYWISTYCZNEGO Wartość pędu relatywistycznego obliczamy za pomocą zależności: $p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ gdzie: $p$ - wartość pędu, $m$ - masa poruszającego się ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką porusza się ciało,  $c$ - wartość prędkości światła.

Wyznaczamy kwadrat iloczynu wartości prędkości światła i wartości pędu relatywistycznego:

${\left(cp\right)}^2={\left(c\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)}^2$

${\left(cp\right)}^2=\frac{{\left(mcv\right)}^2}{{\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)}^2}$

${\left(cp\right)}^2=\frac{m^2{c}^2{v}^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Teraz zapisujemy różnicę kwadratu całkowitej energii relatywistycznej i kwadratu iloczynu wartości prędkości światła i wartości pędu relatywistycznego:

$E^2-{\left(cp\right)}^2=\frac{m^2{c}^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{m^2{c}^2{v}^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=$

$=\frac{m^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\left[c^4-c^2{v}^2\right]=$

$=\frac{m^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\left[c^4\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\right]=$

$=\frac{m^2{c}^4}{\cancel{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot \cancel{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}=m^2{c}^4=(m{c}^2{)}^2$

Otrzymaliśmy:

$E^2-{\left(cp\right)}^2={\left(m{c}^2\right)}^2$

ENERGIA SPOCZYNKOWA Energię spoczynkową obiektu obliczamy z zależności: $E_0=m{c}^2$ gdzie: $E_0$ - energia spoczynkowa obiektu,  $m$ - masa obiektu,  $c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Widzimy więc, że różnica kwadratów wynosi dokładnie kwadratowi energii spoczynkowej:

$E_0^2={\left(m{c}^2\right)}^2$

Wówczas:

$E_0^2=E^2-{\left(cp\right)}^2$