Uzasadnienie:

Zadanie jest kilkuczęściowe. Musimy obliczyć wartość prędkości ucieczki, prędkość ruchu na orbicie kołowej oraz uzupełnić podane zdanie.

W pierwszym kroku obliczymy wartość prędkości ucieczki statku kosmicznego.

Znamy wysokość nad powierzchnią Marsa, na jakiej znajduje się statek:

Skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: .

Prędkość ucieczki statku równoważna jest II prędkości kosmicznej. Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość, jaką należy nadać ciału na powierzchni ciała niebieskiego, aby mogło się ono oddalić nieskończenie daleko od tego ciała niebieskiego. Statek znajduje się w pewnej odległości od powierzchni planety, więc wartość prędkości wyrazimy wzorem:

gdzie:

- wartość prędkości ucieczki,

- stała grawitacji,

- masa Marsa,

- promień Marsa,

- wysokość nad powierzchnią Marsa, na jakiej znajduje się statek.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

Wartość prędkości na orbicie kołowej

Wartość prędkości statku na danej orbicie wyznaczymy, korzystając z faktu, że siła grawitacji pełni w ruchu po orbicie rolę siły dośrodkowej:

gdzie:

- wartość siły dośrodkowej,

- wartość siły grawitacji.

Wartość siły grawitacji działającej na statek przedstawimy wzorem:

gdzie:

- masa statku.

Wartość siły dośrodkowej przedstawimy za pomocą wzoru:

gdzie:

- wartość prędkości statku.

Korzystając z powyższych wzorów, wyznaczamy wyrażenie na wartość prędkości satelity:

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

Jak będzie zmieniać się odległość statku od planety?

Wiemy, że początkowa prędkość statku miała wartość , czyli . W poprzednich punktach obliczyliśmy wartość prędkości ucieczki oraz wartość prędkości w ruchu po kołowej orbicie. Zauważmy, że wartości te spełniają zależność:

gdzie:

- wartość prędkości statku na orbicie kołowej,

- wartość prędkości, z jaką początkowo poruszał się statek,

- wartość prędkości ucieczki statku na podanej wysokości.

Z powyższej zależności wynika, że statek porusza się ze zbyt małą szybkością, aby uwolnić się z pola grawitacyjnego Marsa, ale jednocześnie ze zbyt dużą, aby poruszać się po orbicie kołowej. Statek będzie więc poruszał się po orbicie eliptycznej, zatem jego prędkość będzie się zmieniać.

Odpowiedź:

Prędkość ucieczki statku ma wartość około , a prędkość ruchu po orbicie kołowej na podanej wysokości wynosi około .

Odległość statku od planety będzie: rosła, a potem malała.