Uzasadnienie: 

Musimy wyznaczyć wzór na energię kinetyczną piłki, który będzie miał postać trójmianu kwadratowego. Wielkością zmienną ma być czas.

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

 

Wiemy, że piłki poruszają się ruchem jednostajnie opóźnionym, gdy je wyrzucamy w górę - energia kinetyczna zostaje zamieniona na potencjalną. Zatem wyprowadźmy sobie wzór na szybkość ciała w ruchu opóźnionym:

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$\Delta v$ - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

 

Zamiana szybkości ciała jest równa wartości różnicy szybkości końcowej ciała i początkowej:

$\Delta v=v-v_0$

gdzie:

$v$ - szybkość piłki po czasie $\Delta t$,

 

$v_0$ - szybkość początkowa piłki.

 

Wstawiamy powyższe równanie do naszego wzoru na wartość przyspieszenia ciała i otrzymujemy:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$a=\frac{v_k-v_0}{\Delta t}$

 

Zauważmy jednak, że w ruchu jednostajnie opóźnionym szybkość po czasie $\Delta t$ jest mniejsza od początkowej - piłka rzucona w górę zwalnia. Zatem nasza różnica tych szybkości jest wartością ujemną. Stąd:

 $-a=\frac{v-v_0}{\Delta t}$

Przekształćmy powyższe równanie względem szybkości piłki po czasie $\Delta t$:

$-a=\frac{v-v_0}{\Delta t}\mid \cdot \Delta t$

$-a\cdot \Delta t=v-v_0\mid +v_0$

$v=v_0-a\cdot \Delta t$

 

Zmiana czasu ruchu jest równa różnicy czasu ruchu piłki w danej chwili od początkowego czasu ruchu:

$\Delta t=t-t_0$

gdzie:

$t$ - czas piłki w danej chwili,

$t_0$ - czas początkowego ruchu piłki.

 

Wiemy też, że początkowa szybkość piłki była równa zero:

$t_0=0$

Zatem nasz wzór na zmianę czasu ruchu wynosi:

$\Delta t=t$

 

Analogicznie wstawiamy to wyrażenie do naszego wzoru na szybkość piłki po czasie $\Delta t$ i otrzymujemy:

$v=v_0-a\cdot t$

 

Wstawiamy teraz nasz wzór na szybkość piłki w danej chwili do wzoru na energię kinetyczną ciała i otrzymujemy:

$E_k=\frac{m{\left(v_0-a\cdot t\right)}^2}{2}$

$E_k=\frac{m}{2}\left(v_0^2-2v_{0}at+a^2{t}^2\right)$

$E_k=\frac{m{a}^2}{2}{t}^2-m{v}_{0}at+\frac{m{v}_0^2}{2}$

 

Pamiętajmy jednak, że nasz ruch odbywa się w polu grawitacyjnym oraz pomijamy opory ruchu. Zatem naszym przyspieszeniem w układzie jest przyspieszenie ziemskie, którego wartość ma symbol $g$:

$E_k=\frac{m{g}^2}{2}{t}^2-m{v}_{0}gt+\frac{m{v}_0^2}{2}$

 

Porównajmy to teraz ze wzorem na energię kinetyczną z treści naszego zadania:

$E_k=A{t}^2+Bt+C$

 

Widzimy zatem, że nasze współczynniki $A$, $B$ i $C$ mają postacie:

$A=\frac{m{g}^2}{2}$

$B=-m{v}_{0}g$

$C=\frac{m{v}_0^2}{2}$

 

Odpowiedź: 

Nasze współczynniki mają wartości:

$A=\frac{m{g}^2}{2}$

$B=-m{v}_{0}g$

$C=\frac{m{v}_0^2}{2}$