Dane:

$v_1=25\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$t_1=1\mathrm{s}$

$t=1,5\mathrm{s}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy z:

▶ wartości przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Szukane:

$v_2=?$

Rozwiązanie:

Na podstawie początkowej szybkości obliczamy szybkość początkową drugiej piłki.

Na podstawie treści zadania wiemy, że pierwsza piłka, w momencie zderzenia, znajdowała się na swojej maksymalnej wysokości. Wysokość maksymalną w rzucie pionową obliczamy za pomocą wzoru:

$h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$

gdzie:

$h_{\max }$ - wysokość maksymalna,

$v_0$ - szybkość początkowa,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

 

Dla pierwszej piłki wzór na maksymalną wysokość ma postać:

$h_1=\frac{v_1^2}{2g}$ 

gdzie:

▶ $h_1$ - maksymalna wysokość pierwszej piłki,

▶ $v_1$ - szybkość początkowa pierwszej piłki.

 

Rzucając ciało z pewnej wysokości w górę otrzymujemy, że przy pominięciu oporów ruchu porusza się ono ruchem jednostajnie opóźnionym, z opóźnienie ziemskim. Wysokość, na jakiej znajduje się to ciało po pewnym czasie od chwili wyrzutu możemy przedstawić wzorem:

$h=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

gdzie:

$h$ - wysokość, na jakiej znajduje się ciało po pewnej chwili od wyrzutu, 

$h_0$ - początkowa wysokość, na jakiej znajdowało się to ciało, 

$t$ - czas ruchu tego ciała. 

 

Druga piłka została wyrzucona później i na maksymalnej wysokości pierwszej piłki się z nią zderza. ALE nie wiemy, czy jest to maksymalna wysokość drugiej piłki, dlatego jej wzór na wysokość, na której się znajduje ma postać:

 $h_2=v_2{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2$

gdzie:

$h_2$ - wysokość, na której się znajduje druga piłka,

$v_2$ - początkowa szybkość drugiej piłki,

$t_2$ - czas ruchu drugiej piłki.

 

Wiemy, że obie piłki się zderzyły na pewnej wysokości - maksymalnej dla tej pierwszej. Zatem wartości wysokości, na których się znajdują musi być taka sama:

$h_1=h_2$

 

Wstawiamy nasze wzory i otrzymujemy:

$\frac{v_1^2}{2g}=v_2{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2$

Przekształćmy nasze równanie względem szybkości drugiej kulki i otrzymujemy:

$\frac{v_1^2}{2g}=v_2{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2\mid +g{t}_2^2$

$\frac{v_1^2}{2g}+\frac{1}{2}g{t}_2^2=v_2{t}_2\mid :t_2$

$v_2=\frac{1}{t_2}\left(\frac{v_1^2}{2g}+\frac{1}{2}g{t}_2^2\right)$

$v_2=\frac{1}{2t_2}\left(\frac{v_1^2}{g}+g{t}_2^2\right)$

$v_2=\frac{1}{2g{t}_2}\left(v_1^2+g^2{t}_2^2\right)$

 

Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:

$v_2=\frac{1}{2\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 1,5\mathrm{s}}\left({\left(25\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+{\left(10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right)}^2\cdot {\left(1,5\mathrm{s}\right)}^2\right)$

$v_2=\frac{1}{30\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\left({\left(25\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+{\left(10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right)}^2\cdot {\left(1,5\mathrm{s}\right)}^2\right)$

$v_2=\frac{1}{30\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\left(625\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+100\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^4}\cdot 2,25{\mathrm{s}}^2\right)$

$v_2=\frac{1}{30\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\left(625\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+225\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\right)$

$v_2=\frac{85\cancel{0}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{3\cancel{0}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$

$v_2=28,\left(3\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Szybkość początkowa drugiej piłki wynosi $28,3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.