Oblicz ciepło oddane przez...- Zadanie 13.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Naszym celem jest wyznaczenie ciepła oddanego przez gaz w przemianie izobarycznej 1 → 2.

Objętość w stanie 2

Najpierw zajmiemy się wyznaczeniem brakującej objętości $V_{2}$ . Korzystamy z równania przemiany adiabatycznej.

PRAWO POISSONA

Dla przemiany adiabatycznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Poissona prawdziwa jest równość:

$p V^{κ} = const$

gdzie:

$κ$ - wykładnik adiabaty,

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu.

WYKŁADNIK ADIABATY

Wykładnik adiabaty jest równy stosunkowi ciepła molowego przy stałym ciśnieniu do ciepła molowego przy stałej temperaturze:

$κ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

gdzie:

$κ$ - wykładnik adiabaty,

$C_{p}$ - ciepło molowe substancji przy stałym ciśnieniu,

$C_{V}$ - ciepło molowe substancji przy stałej objętości.

Wiemy, że gaz jest dwuatomowy, więc:

GAZ DWUATOMOWY - CIEPŁO MOLOWE PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI

Ciepło molowe przy stałej objętości dla gazu dwuatomowego wynosi:

$C_{V} = \frac{5}{2} R$

gdzie:

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości dla gazu dwuatomowego,

$R$ - stała gazowa.

GAZ DWUATOMOWY - CIEPŁO MOLOWE PRZY STAŁYM CIŚNIENIU

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego wynosi:

$C_{p} = \frac{7}{2} R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego,

$R$ - stała gazowa.

Wykładnik adiabaty będzie równy:

$κ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

$κ = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R}$

$κ = \frac{7}{5}$

Z równania adiabaty zapisujemy równość dla stanów 2 i 3.

$p_{2} V_{2}^{\frac{7}{5}} = p_{3} V_{3}^{\frac{7}{5}} ∣ : p_{2}$

$V_{2}^{\frac{7}{5}} = \frac{p _{3}}{p _{2}} V_{3}^{\frac{7}{5}} ∣^{\frac{5}{7}}$

$V_{2}^{\frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}} = (\frac{p _{3}}{p _{2}} V_{3}^{\frac{7}{5}})^{\frac{5}{7}}$

$V_{2} = (\frac{p _{3}}{p _{2}})^{\frac{5}{7}} \cdot V_{3}$

Korzystamy z danych:

$p_{2} = 1000 hPa$

$p_{3} = 2500 hPa$

$V_{3} = 2 d m^{3} = 0, 002 m^{3}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$V_{2} = (\frac{2500 hPa}{1000 hPa})^{\frac{5}{7}} \cdot 0, 002 m^{3} = 2, 5^{\frac{5}{7}} \cdot 0, 002 m^{3} \approx 1, 924 \cdot 0, 002 m^{3} \approx 0, 003848 m^{3}$

Ciepło oddane w przemianie izobarycznej

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOBARYCZNEJ

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q = n C_{p} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Wiemy, że:

$C_{P} = \frac{7}{2} R$

Stąd:

$Q = n \frac{7}{2} R Δ T$

$Q = \frac{7}{2} n R Δ T$

Musimy wyrazić zmianę temperatury w przejściu między stanami: 1 → 2.

$Δ T = T_{2} - T_{1}$

gdzie:

$T_{2}$ - temperatura w stanie 2,

$T_{1}$ - temperatura w stanie 1.

Korzystamy z:

RÓWNANIE CLAPEYRONA

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Możemy zapisać zależność na temperaturę gazu:

$p V = n R T ∣ : n R$

$\frac{p V}{n R} = T$

$T = \frac{p V}{n R}$

Dla stanu 1 otrzymujemy:

$T_{1} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$

Dla stanu 2 otrzymujemy:

$T_{2} = \frac{p _{2} V _{2}}{n R}$

Zatem:

$Δ T = \frac{p _{2} V _{2}}{n R} - \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$

$Δ T = \frac{1}{n R} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$

Z wykresu wynika, że:

$p_{1} = p_{2}$

Stąd:

$Δ T = \frac{1}{n R} (p_{2} V_{2} - p_{2} V_{1})$

$Δ T = \frac{p _{2}}{n R} (V_{2} - V_{1})$

Wracamy do równania na szukane ciepło oddane przez gaz.

$Q = \frac{7}{2} n R \frac{p _{2}}{n R} (V_{2} - V_{1})$

$Q = \frac{7}{2} p_{2} (V_{2} - V_{1})$

Korzystamy z danych:

$p_{2} = 1000 hPa = 100000 Pa$

$V_{1} = 5 d m^{3} = 0, 005 m^{3}$

$V_{2} = 0, 003848 m^{3}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$Q = \frac{7}{2} \cdot 100000 Pa \cdot (0, 003848 m^{3} - 0, 005 m^{3}) = 350000 Pa \cdot (- 0, 001152 m^{3}) \approx - 400 J$

Rafał Guzik

Nauczyciel fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.9. Termodynamika i właściwości materii

Premium

11:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.5. Hydrostatyka

Premium

11:43

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.4. Energia mechaniczna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.