Zależność oporu elektrycznego... 17.1 Oblicz stosunek oporów...- Zadanie 17.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$E_{0 g} = 0, 7 eV$

$E_{0 k} = 1, 2 eV$

$T = 300 K$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ stała Boltzmanna: $k_{B} = 1, 38 \cdot 1 0^{- 23} \frac{J}{K}$ ,

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1 eV = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} J$ .

Szukane:

$\frac{R _{k}}{R _{g}} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie stosunku oporu krzemu i oporu germanu.

Zależność oporu elektrycznego od temperatury dla półprzewodnika jest następująca (podana w informacjach do zadania):

$R (T) = B \cdot e^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T}}$

gdzie:

$R$ - opór elektryczny półprzewodnika,

$B$ - stała zależna od rodzaju półprzewodnika,

$E_{0}$ - szerokość przerwy wzbronionej,

$k_{b}$ - stała Boltzmanna,

$T$ - temperatura półprzewodnika.

Zapiszmy zależność oporu elektrycznego od temperatury dla krzemu i germanu:

✹ dla krzemu:

$R_{k} (T) = B \cdot e^{\frac{E _{0 k}}{2 k _{B} T}}$

gdzie:

$R_{k}$ - opór elektryczny krzemu,

$E_{0 k}$ - szerokość przerwy wzbronionej dla krzemu.

✹ dla germanu:

$R_{g} (T) = B \cdot e^{\frac{E _{0 g}}{2 k _{B} T}}$

gdzie:

$R_{g}$ - opór elektryczny germanu,

$E_{0 g}$ - szerokość przerwy wzbronionej dla germanu.

Obliczmy stosunek oporu elektrycznego krzemu i germanu, wiedząc, że oba materiały mają taką samą wartość stałej $B$ :

$\frac{R _{k}}{R _{g}} = \frac{B \cdot e ^{\frac{E _{0 k}}{2 k _{B} T}}}{B \cdot e ^{\frac{E _{0 g}}{2 k _{B} T}}}$

$\frac{R _{k}}{R _{g}} = \frac{e ^{\frac{E _{0 k}}{2 k _{B} T}}}{e ^{\frac{E _{0 g}}{2 k _{B} T}}}$

$\frac{R _{k}}{R _{g}} = e^{\frac{E _{0 k}}{2 k _{B} T} - \frac{E _{0 g}}{2 k _{B} T}}$

$\frac{R _{k}}{R _{g}} = e^{\frac{E _{0 k} - E _{0 g}}{2 k _{B} T}}$

Wstawiamy dane liczbowe do wykładnika liczby Eulera i otrzymujemy:

$\frac{E _{0 k} - E _{0 g}}{2 k _{B} T} = \frac{1 , 2 eV - 0 , 7 eV}{2 \cdot 1 , 38 \cdot 1 0 ^{- 23} \frac{J}{K} \cdot 300 K} = \frac{0 , 5 eV}{2 , 76 \cdot 1 0 ^{- 23} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{2} J} =$

$= \frac{0 , 5 eV}{8 , 28 \cdot 1 0 ^{- 21} J} = \frac{0 , 5 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} J}{8 , 28 \cdot 1 0 ^{- 21} J} = \frac{0 , 8 \cdot 1 0 ^{- 19}}{8 , 28 \cdot 1 0 ^{- 21}} =$

$= \frac{0 , 8 \cdot 1 0 ^{2} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 19}}{8 , 28 \cdot 1 0 ^{- 21}} = \frac{80 \cdot 1 0 ^{- 21}}{8 , 28 \cdot 1 0 ^{- 21}} = \frac{80}{8 , 28} \approx 9, 67$