Zależność oporu elektrycznego... 17.2 Oblicz stosunek oporów...- Zadanie 17.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$T_{1} = 1 0^{\circ} C = 283 K$

$T_{2} = 3 0^{\circ} C = 303 K$

$E_{0} = 1, 2 eV$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ stała Boltzmanna: $k_{B} = 1, 38 \cdot 1 0^{- 23} \frac{J}{K}$ ,

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1 eV = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} J$ .

Szukane:

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie stosunku oporu krzemu i oporu germanu.

Zależność oporu elektrycznego od temperatury dla półprzewodnika jest następująca (podana w informacjach do zadania):

$R (T) = B \cdot e^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T}}$

gdzie:

$R$ - opór elektryczny półprzewodnika,

$B$ - stała zależna od rodzaju półprzewodnika,

$E_{0}$ - szerokość przerwy wzbronionej,

$k_{b}$ - stała Boltzmanna,

$T$ - temperatura półprzewodnika.

Zapiszmy zależność oporu elektrycznego od temperatury dla krzemu w dwóch temperaturach:

✹ opór elektryczny dla temperatury $1 0^{\circ} C$ :

$R_{10} = B \cdot e^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{1}}}$

gdzie:

$R_{10}$ - oporność krzemu w temperaturze $1 0^{\circ} C$ ,

$T_{1}$ - temperatura początkowa krzemu.

✹ opór elektryczny dla temperatury $3 0^{\circ} C$ :

$R_{30} = B \cdot e^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{2}}}$

gdzie:

$R_{30}$ - oporność krzemu w temperaturze $3 0^{\circ} C$ ,

$T_{2}$ - temperatura końcowa krzemu.

Wstawiamy powyższe wzory do naszej proporcji i otrzymujemy:

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = \frac{B \cdot e ^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{1}}}}{B \cdot e ^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{2}}}}$

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = \frac{e ^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{1}}}}{e ^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{2}}}}$

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = e^{\frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{1}} - \frac{E _{0}}{2 k _{B} T _{2}}}$

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = e^{E_{0} (\frac{1}{2 k _{B} T _{1}} - \frac{1}{2 k _{B} T _{2}})}$

Wykonajmy teraz odejmowanie ułamków, które znajduje się w wykładniku liczby Eulera:

$E_{0} (\frac{1}{2 k _{B} T _{1}} - \frac{1}{2 k _{B} T _{2}}) = E_{0} (\frac{T _{2} - T _{1}}{2 k _{B} T _{1} T _{2}})$

Wstawiamy dane liczbowe do powyższego wzoru i otrzymujemy:

$E_{0} (\frac{T _{2} - T _{1}}{2 k _{B} T _{1} T _{2}}) = 1, 2 eV (\frac{303 K - 283 K}{2 \cdot 1 , 38 \cdot 1 0 ^{- 23} \frac{J}{K} \cdot 283 K \cdot 303 K}) =$

$= 1, 2 eV (\frac{20 K}{2 , 76 \cdot 1 0 ^{- 23} \frac{J}{K} \cdot 283 K \cdot 303 K}) = 1, 2 eV (\frac{20}{2 , 76 \cdot 1 0 ^{- 23} \frac{J}{K} \cdot 2 , 83 \cdot 1 0 ^{2} K \cdot 3 , 03 \cdot 1 0 ^{2}}) =$

$= 1, 2 eV (\frac{20}{2 , 76 \cdot 1 0 ^{- 19} J \cdot 2 , 83 \cdot 3 , 03}) = 1, 2 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} J (\frac{20}{2 , 76 \cdot 1 0 ^{- 19} J \cdot 2 , 83 \cdot 3 , 03}) =$

$= 1, 92 \cdot 1 0^{- 19} J \frac{2 10}{23 , 666724 \cdot 1 0 ^{- 19} J} = 1, 92 \cdot \frac{20}{23 , 666724} =$

$= \frac{38 , 4}{23 , 666724} = 1, 62253128063 \approx 1, 62$

Pamiętajmy, że jest to wykładnik, a nie stosunek oporności. Wstawiamy powyższą wartość do wzoru i otrzymujemy:

$\frac{R _{10}}{R _{30}} = e^{1, 62} \approx 5, 05$

Odpowiedź: Stosunek oporności krzemu w temperaturze $1 0^{\circ} C$ jest w przybliżeniu $5, 05$ razy większa od oporności krzemu w temperaturze $3 0^{\circ} C$ .