Dla danej masy powietrza...- Zadanie 7: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$μ = 18 \frac{g}{mol} = 18 \cdot \frac{0 , 001 kg}{mol} = 0, 018 \frac{kg}{mol}$

$c_{s k r} = 2, 27 \frac{MJ}{kg} = 2, 27 \cdot \frac{1 000 000 J}{kg} = 2270000 \frac{J}{kg}$

$p_{1} = 3, 8 kPa = 3, 8 \cdot 1000 Pa = 3800 Pa$

$p_{2} = 1, 8 kPa = 1, 8 \cdot 1000 Pa = 1800 Pa$

$T_{1} = 28^{\circ} C = (28 + 273) K = 301 K$

$T_{2} = 15^{\circ} C = (15 + 273) K = 288 K$

$n % = 0, 7 %$

$V = 1 m^{3}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie ilości ciepła, która została wydzielona podczas skraplania się pary wodnej przy ochłodzeniu powietrza. Zakładamy, że para wodna jest gazem doskonałym. Zatem spełnione jest równanie Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

W zadaniu podano masę molową pary wodnej. Skorzystamy zatem z następującej zależności - liczbę moli substancji możemy przedstawić jako stosunek masy całej substancji do jego masy molowej:

$n = \frac{m}{μ}$

gdzie:

$n$ - liczba moli,

$m$ - całkowita masa substancji,

$μ$ - masa molowa substancji.

Stąd:

$p V = \frac{m}{μ} R T$

Para wodna w ciągu dnia

Możemy zapisać wzór na maksymalną masę pary wodnej w ciągu dnia, czyli przy temperaturze $2 8^{\circ} C$ :

$p_{1} V = \frac{m}{μ} R T_{1}$

Wyznaczamy masę pary wodnej.

$p_{1} V = \frac{m}{μ} R T_{1} ∣ \cdot μ$

$p_{1} V μ = m R T_{1} ∣ : R T_{1}$

$\frac{p _{1} V μ}{R T _{1}} = m$

$m = \frac{p _{1} V μ}{R T _{1}}$

Jednakże z treści zadania wiemy, że wilgotność w ciągu dnia wynosiła $70%$ . Zatem dostępna masa pary wodnej w ciągu dnia jest dana wzorem:

$m_{1} = 70 % m$

$m_{1} = 0, 7 m$

gdzie:

$m_{1}$ - masa pary wodnej w ciągu dnia.

Otrzymujemy:

$m_{1} = \frac{0 , 7 p _{1} V μ}{R T _{1}}$

Para wodna wieczorem

Wieczorem temperatura powierza ochładza się i zmniejsza się maksymalna możliwa masa pary wodnej w powietrzu. Skoro doszło do wykroplenia się pary wodnej to wilgotność powietrza musiała dojść do $100%$ . Czyli w powietrzu, w temperaturze $1 5^{\circ} C$ , znalazła się maksymalna możliwa masa pary wodnej. Podobnie jak poprzednio zapisujemy:

$m_{2} = \frac{p _{2} V μ}{R T _{2}}$

gdzie:

$m_{2}$ - maksymalna masa pary wodnej wieczorem.

Ciepło oddane do otoczenia

Mamy więc, że masa pary wodnej jaka ulec mogła skropleniu jest różnicą masy pary wodnej w ciągu dnia oraz maksymalnej masy pary wodnej wieczorem:

$Δ m = m_{1} - m_{2}$

gdzie:

$Δ m$ - masa pary wodnej, która uległa skropleniu.

Natomiast ciepło oddane do otoczenia w wyniku skroplenia pary wodnej wyrazimy jako:

$Q = c_{s k r} Δ m$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane,

$c_{s k r}$ - ciepło skraplania pary wodnej.

Wstawiamy wcześniej wyznaczone wzory do powyższej zależności:

$Q = c_{s k r} (m_{1} - m_{2})$

$Q = c_{s k r} (0, 7 \frac{p _{1} μ V}{R T _{1}} - \frac{p _{2} μ V}{R T _{2}})$

$Q = c_{s k r} \frac{μ V}{R} (\frac{0 , 7 p _{1}}{T _{1}} - \frac{p _{2}}{T _{2}})$

Wstawiamy dane i obliczamy:

$Q = 2270000 \frac{J}{kg} \cdot \frac{0 , 018 \frac{kg}{mol} \cdot 1 m ^{3}}{8 , 31 \frac{J}{mol \cdot K}} (\frac{0 , 7 \cdot 3 800 Pa}{301 K} - \frac{1 800 Pa}{288 K}) =$

$= 2270000 \cdot \frac{0 , 018 \cdot 1}{8 , 31} (\frac{0 , 7 \cdot 3 800}{301} - \frac{1 800}{288}) \frac{J}{kg} \cdot \frac{\frac{kg}{mol} \cdot m ^{3}}{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot \frac{Pa}{K} =$

$= 2270000 \cdot \frac{0 , 018}{8 , 31} \cdot (\frac{2660}{301} - 6, 25) \frac{J}{kg} \cdot \frac{kg}{mol} \cdot m^{3} \cdot \frac{mol \cdot K}{J} \cdot \frac{Pa}{K} =$