Dane:

$\sigma =1,4\frac{\text{kW}}{{\text{m}}^2}=1400\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}$  

$S=0,5{\text{m}}^2$  

$m=1\text{kg}$  

$\Delta t=1^{\circ }\text{C}⟶\Delta T=1\text{K}$  

$\eta =60\%$  

$k=90\%$  

$c_w=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

Szukane:

$t=?$  

Rozwiązanie:

Szukamy czasu ogrzewania wody w nasączonej gąbce, przy założonych parametrach. W zadaniu podaną mamy stałą słoneczną dla Ziemi, z której możemy wywnioskować, jaką moc ma promieniowanie padające na pewną jednostkę powierzchni:

$\sigma =\frac{P}{S}$  

gdzie:

$\sigma$ - stała słoneczna,

$P$  - moc promieniowania,

$S$  - powierzchnia, na którą pada promieniowanie słoneczne.

Wiemy, że moc możemy przedstawić jako stosunek ilości wykonanej pracy do czasu wykonywania tej pracy. W naszym przypadku praca jest równoważna ciepłu, jakie zostaje dostarczone do powierzchni, na którą pada promieniowanie słoneczne:

$P=\frac{Q}{t}$  

gdzie:

$Q$  - ciepło wynikające z promieniowania słonecznego,

$t$  - czas naświetlania rozważanej powierzchni.

Oznacza to, że ciepło dostarczone do powierzchni gąbki będzie miało postać:

$\frac{P}{S}=\sigma \mid \cdot S$  

$P=\sigma S$  

$\frac{Q}{t}=\sigma S\mid \cdot t$  

$Q=\sigma St$  

Wiemy, że w wyniku promieniowania ogrzewana jest woda o masie $m$ , co powoduje jej zmianę temperatury o $\Delta T$ . Oznacza to, że ciepło dostarczone do wody ma postać:

$Q_{\text{dostarczone}}=m{c}_w\Delta T$  

gdzie:

$Q_{\text{dostarczone}}$ - ciepło dostarczone do wody,

$c_w$  - ciepło właściwe wody,

$m$  - masa wody,

$\Delta T$  - zmiana temperatury wody.

W zadaniu podane mamy, że gąbka pochłania $60\%$ energii z padającego na nią światła. Zatem energia słoneczna pochłaniana przez gąbkę ma postać:

$E_{\text{pochłaniana}}=\eta Q$  

gdzie:

$E_{\text{pochłaniana}}$ - energia pochłaniana przez gąbkę,

$\eta$ - współczynnik pochłaniania energii.

Ponadto wiemy, że $90\%$ energii pochłanianej powoduje dostarczenie ciepła potrzebnego na ogrzanie wody:

$Q_{\text{dostarczone}}=k{E}_{\text{pochłaniana}}$  

gdzie:

$k$ - współczynnik konwersji energii.

Wyznaczmy czas potrzebny na ogrzanie gąbki o $1^{\circ }\mathrm{C}$:

$k{E}_{\text{pochłaniana}}=Q_{\text{dostarczone}}$  

$k\eta Q=Q_{\text{dostarczone}}$  

$k\eta \sigma St=m{c}_w\Delta T\mid :k\eta \sigma S$  

$t=\frac{m{c}_w\Delta T}{k\eta \sigma S}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{1\cancel{\text{kg}}\cdot 4200\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg}\cdot \text{K}}}\cdot 1\cancel{\text{K}}}{60\%\cdot 90\%\cdot 1400\frac{\text{W}}{\cancel{{\text{m}}^2}}\cdot 0,5\cancel{{\text{m}}^2}}=$  

$=\frac{4200\text{J}}{0,6\cdot 0,90\cdot 1400\frac{\text{J}}{\text{s}}\cdot 0,5}=\frac{4200\text{J}}{378\frac{\text{J}}{\text{s}}}\approx 11\text{s}$  

Odpowiedź: Czas ogrzewania gąbki będzie wynosił około $11\text{s}$ .