Dane:

$f_1=10\text{Hz}$

Szukane:

$f_2=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie częstotliwości, z jaką obraca się pręt w sytuacji po rozłożeniu krótszych prętów. Na układ prętów nie działają żadne zewnętrzne siły, zatem suma momentów pędu prętów tworzonych układ się nie zmienia. Wówczas zasada zachowania momentu pędu jest zachowana. W sytuacji początkowej pręty na zawiasach były złożone. Moment bezwładności jednorodnego pręta obracającego się względem osi przechodzącej przez jego środek możemy przedstawić wzorem:

$I=\frac{1}{12}m{L}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności pręta, 

$m$ - masa pręta, 

$L$ - długość pręta.

Zatem dla układu złożonych prętów moment bezwładności zapiszemy:

$I_1=\frac{1}{12}M{d}^2$

gdzie:

$I_1$ - moment bezwładności układu złożonych prętów,

$M$ - masa prętów,

$d$ - długość prętów.

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu, 

$\omega$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało. 

Zatem dla złożonych prętów wartość momentu pędu zapiszemy:

$L_1=I_1{\omega }_1$

gdzie:

$L_1$ - wartość momentu pędu złożonych prętów,

${\omega }_1$ - wartość prędkości kątowej złożonych prętów.

Wartość momentu pędu wyrazimy:

$L_1=\frac{1}{12}M{d}^2{\omega }_1$

Wartość prędkości kątowej obracającej się bryły wyrażamy jako:

$\omega =2\pi f$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej obracającej się bryły,

$\pi$ - liczba π,

$f$ - częstotliwość obrotów bryły.

Zatem wartość prędkości obrotów złożonych prętów zapiszemy:

${\omega }_1=2\pi f_1$

gdzie:

$f_1$ - częstotliwość obrotów złożonych prętów.

Wówczas wartość momentu pędu zapiszemy:

$L_1=\frac{1}{\cancel{12}}M{d}^2\cancel{2}\pi f_1$

$L_1=\frac{1}{6}M{d}^2\pi f_1$

W drugiej sytuacji pręty są rozłożone, ale ich masa nie ulega zmianie, ponieważ jest to układ tych samych prętów. Zatem moment bezwładności prętów w drugiej sytuacji zapiszemy:

$I_2=\frac{1}{12}M{D}^2$

gdzie:

$I_2$ - moment bezwładności układu rozłożonych prętów,

$D$ - długość układu rozłożonych prętów.

W drugiej sytuacji pręty zostały rozłożone. Krótkie pręty, każdy o długości $\frac{1}{2}d$  zostały umiejscowione po obu stronach pręta o długości $d$. Wówczas ich całkowita długość:

$D=\frac{1}{2}d+d+\frac{1}{2}d$

$D=2d$

Zatem moment bezwładności układu rozłożonych prętów:

$I_2=\frac{1}{12}M\left(2d\right)$

$I_2=\frac{1}{{}^3\cancel{12}}M\cancel{4}{d}^2$

$I_2=\frac{1}{3}M{d}^2$

Dla układu rozłożonych prętów wartość momentu pędu zapiszemy:

$L_2=I_2{\omega }_2$

gdzie:

$L_2$ - wartość momentu pędu rozłożonych prętów,

${\omega }_2$ - wartość prędkości kątowej rozłożonych prętów.

Zatem wartość momentu pędu wyrazimy:

$L_2=\frac{1}{3}M{d}^2{\omega }_2$

Wartość prędkości obrotów rozłożonych prętów zapiszemy:

${\omega }_2=2\pi f_2$

gdzie:

$f_2$ - częstotliwość obrotów złożonych prętów.

Wówczas wartość momentu pędu zapiszemy:

$L_2=\frac{1}{3}M{d}^{2}2\pi f_2$

$L_2=\frac{2}{3}M{d}^2\pi f_2$

Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu możemy zapisać:

$L_1=L_2$

Zatem:

$\frac{1}{6}M{d}^2\pi f_1=\frac{2}{3}M{d}^2\pi f_2|:\frac{1}{3}M{d}^2\pi n$

$\frac{1}{2}{f}_1=2f_2|:2$

$\frac{1}{4}{f}_1=f_2$

Zatem częstotliwość, z jaką obracały się rozłożone pręty:

$f_2=\frac{1}{4}{f}_1$

Podstawmy wartości liczbowe:

$f_2=\frac{1}{4}\cdot 10\text{Hz}=2,5\text{Hz}$

Odpowiedź: Częstotliwość, z jaką obraca się pręt w sytuacji po rozłożeniu krótszych prętów, wynosi 2,5 Hz.