Dane:

$h_1=1\text{m}$  

$h_2=1,5\text{m}$   

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$v_0=?$  

$t=?$  

Rozwiązanie:

Ruch piłeczki możemy podzielić na dwa etapy: 

▶ pierwszy - piłeczka spada z pewnej wysokości na stół, 

▶ drugi - piłeczka odbija się od stołu i wznosi się na pewną wysokość.

  Etap 1  

Mamy piłeczkę pingpongową, która na początku znajduje się na wysokości $h_1$  i zostaje jej nadana szybkość początkowa w dół $v_0$ . W czasie ruchu na piłeczkę działa jedynie siła ciężkości, dlatego jej przyspieszenie co do wartości odpowiada przyspieszeniu ziemskiemu $g$ . Wówczas piłeczka porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym do chwili uderzenia w stół pingpongowy. Załóżmy, że wówczas mamy pierwszy etap ruchu i jaj czas ruchu wynosi $t_1$ .

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała. 

Dla naszego przypadku mamy:

$s=h_1$  

$t=t_1$  

$a=g$  

Zatem:

$h_1=v_0{t}_1+\frac{1}{2}g{t}_1^2$  

W chwili, gdy piłeczka uderzy w stół nabędzie w czasie ruchu pewną prędkość końcową $v_1$ . Wówczas zmiana jej wartości prędkości może zostać przedstawiona jako różnica między wartością prędkości końcowej a początkowej:

$|\Delta v|=v_1-v_0$  

Wartość przyspieszenia średniego ciała mówi nam o całkowitej zmianie wartości prędkości w danym czasie. Przedstawiamy ją wzorem:

$a=\frac{\left|\Delta v\right|}{t}$

gdzie:

$a$ - wartość średniego przyspieszenia ciała, 

$\left|\Delta v\right|$ - bezwzględna zmiana wartości prędkości tego ciała, 

$t$ - całkowity czas w jakim ta zmiana następuje.

W naszym przypadku:

$g=\frac{v_1-v_0}{t_1}$

Stąd czas ruchu będzie równy:

$g{t}_1=v_1-v_0$

$t_1=\frac{v_1-v_0}{g}$

Z powyższych zależności możemy wyznaczyć wartość prędkości końcowej z jaką piłka odbije się od blatu stołu:

$h_1=v_0{t}_1+\frac{1}{2}g{t}_1^2$  

$h_1=v_0\cdot \frac{v_1-v_0}{g}+\frac{1}{2}g{\left(\frac{v_1-v_0}{g}\right)}^2$  

$h_1=\frac{v_0\left(v_1-v_0\right)}{g}+\frac{1}{2}g\frac{{\left(v_1-v_0\right)}^2}{g^2}$  

$h_1=\frac{v_1{v}_0-v_0^2}{g}+\frac{{\left(v_1-v_0\right)}^2}{2g}$  

$h_1=\frac{2\left(v_1{v}_0-v_0^2\right)}{2g}+\frac{v_1^2+v_0^2-2v_1{v}_0}{2g}$  

$h_1=\frac{\cancel{2v_1{v}_0}-2v_0^2+v_1^2+v_0^2-\cancel{2v_1{v}_0}}{2g}$  

$h_1=\frac{v_1^2-v_0^2}{2g}\mid \cdot 2g$  

$2g{h}_1=v_1^2-v_0^2\mid +v_0^2$  

$v_0^2+2g{h}_1=v_1^2$  

$v_1^2=v_0^2+2g{h}_1\mid \sqrt{}$  

$v_1=\sqrt{v_0^2+2g{h}_1}$  

  Etap 2  

W zadaniu zakładamy, że piłeczka odbiła się od stołu z taką samą wartością prędkości, z jaką w ten stół uderzyła. Piłeczkę pingpongowa odbija się od stołu z prędkoscią o wartości $v_1$  i wznosi się na wysokość $h_2$ . Wówczas czas jej ruchu wynosi $t_2$ . Porusza się ona wówczas ruchem opóźnionym z przyspieszeniem odpowiadającym co do wartości przyspieszeniu ziemskiemu. Z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym wiemy, że:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu ciała. 

Dla naszego przypadku mamy:

$s=h_2$  

$v_{\text{pocz.}}=v_1$  

$t=t_2$  

$a=g$  

Wówczas:

$h_2=v_1{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2$  

W tym przypadku piłeczka zatrzymuje się na wysokości $h_2$ , czyli zmiana jej wartości prędkości w czasie $t_2$  wynosi:

$|\Delta v|=|0-v_1|=v_1$  

Wartość przyspieszenia odpowiada wartości przyspieszenia ziemskiego.

$a=g$  

Wówczas z definicji przyspieszenia wynika, że czas wznoszenia się piłki będzie wynosił:

$a=\frac{\left|\Delta v\right|}{t}$  

Zatem:

$g=\frac{v_1}{t_2}$

$g{t}_2=v_1$

$t_2=\frac{v_1}{g}$

Z zależności tej możemy wyznaczyć szybkość piłki w chwili uderzenia w stół:

$h_2=v_1{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2$  

$h_2=v_1\cdot \frac{v_1}{g}-\frac{1}{2}g{\left(\frac{v_1}{g}\right)}^2$  

$h_2=\frac{v_1^2}{g}-\frac{1}{2}g\cdot \frac{v_1^2}{g^2}$  

$h_2=\frac{2v_1^2}{2g}-\frac{v_1^2}{2g}$  

$h_2=\frac{v_1^2}{2g}\mid \cdot 2g$  

$2g{h}_2=v_1^2$  

$v_1^2=2g{h}_2\mid \sqrt{}$  

$v_1=\sqrt{2g{h}_2}$  

  Łączymy oba etapy ruchu  

Porównując wzoru na wartość prędkości z jaką piłka uderzyła w stół uzyskane na każdym z etapów ruchu wyznaczmy wartość prędkości początkowej piłki:

$\sqrt{v_0^2+2g{h}_1}=v_1$  

$\sqrt{v_0^2+2g{h}_1}=\sqrt{2g{h}_2}{\mid }^2$  

$v_0^2+2g{h}_1=2g{h}_2\mid -2g{h}_1$  

$v_0^2=2g{h}_2-2g{h}_1$  

$v_0^2=2g\left(h_2-h_1\right)\mid \sqrt{}$  

$v_0=\sqrt{2g\left(h_2-h_1\right)}$  

Podstawiamy dane do wzoru, aby obliczyć wartość prędkości początkowej:

$v_0=\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1,5\text{m}-1\text{m}\right)}=\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5\text{m}}=$  

$=\sqrt{9,81\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=3,13\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Otrzymaliśmy, że czasy ruchu piłki na poszczególnych etapach wynoszą:

$t_1=\frac{v_1-v_0}{g}$  

$t_2=\frac{v_1}{g}$  

Zatem całkowity czas ruchu piłeczki od nadania jej prędkości początkowej do osiągniecia wysokości $h_2$  będzie wynosił:

$t=t_1+t_2$  

$t=\frac{v_1-v_0}{g}+\frac{v_1}{g}$  

$t=\frac{v_1-v_0+v_1}{g}$  

$t=\frac{2v_1-v_0}{g}$  

$t=\frac{2\sqrt{2g{h}_2}-\sqrt{2g\left(h_2-h_1\right)}}{g}$  

$t=\frac{2\sqrt{2g{h}_2}}{g}-\frac{\sqrt{2g\left(h_2-h_1\right)}}{g}$  

$t=2\sqrt{\frac{2g{h}_2}{g^2}}-\sqrt{\frac{2g\left(h_2-h_1\right)}{g^2}}$  

$t=2\sqrt{\frac{2h_2}{g}}-\sqrt{\frac{2\left(h_2-h_1\right)}{g}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanego wzoru:

$t=2\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 1,5\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}-\sqrt{\frac{2\cdot \left(1,5\text{m}-1\text{m}\right)}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=2\cdot \sqrt{\frac{3}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}-\sqrt{\frac{2\cdot 0,5\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=2\cdot \sqrt{0,306{\text{s}}^2}-\sqrt{0,102{\text{s}}^2}=2\cdot 0,553\text{s}-0,319\text{s}=$  

$=1,106\text{s}-0,319\text{s}=0,787\text{s}\approx 0,79\text{s}$