Dane:

$v_1=1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_2=1\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_r=0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$d=10\text{m}$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$v_{\text{k}1.\text{b}}=\text{?}$

$v_{\text{k}2.\text{b}}=\text{?}$

$v_{\text{k}3.\text{b}}=\text{?}$

$v_{\text{k}4.\text{b}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenia wartości prędkości każdej kaczki względem brzegu rzeki. Zauważmy, że jeżeli ciało porusza się z z prędkością ${\vec{v}}_1$ względem układu I, a układ I porusza się względem układu II z prędkością $\vec{u}$ to wówczas prędkość ciała w układzie II ${\vec{v}}_2$ jest sumą wektorów prędkości ${\vec{v}}_1$ i $\vec{u}$:

${\vec{v}}_2={\vec{v}}_1+\vec{u}$

W naszym przypadku układem I jest układ związany z rzeką. Natomiast układem II jest układ związany z brzegiem rzeki. Skoro woda w rzece płynie z prędkością $v_r$ to oznacza, że układ I (rzeka) porusza się względem układu II (brzeg) z prędkością:

$\vec{u}={\vec{v}}_r$

Zatem wzór na prędkość kaczki względem brzegu rzeki opisuje wzór:

${\vec{v}}^{\prime }=\vec{v}+{\vec{v}}_r$

gdzie:

${\vec{v}}^{\prime }$ - prędkość kaczki względem brzegu rzeki,

$\vec{v}$ - prędkość kaczki względem rzeki,

${\vec{v}}_r$ - prędkość rzeki względem brzegu rzeki.

Widzimy, że mamy styczność z wektorami, zatem wzór na wartość prędkości będzie zależna od zwrotu i kierunku danego wektora. Przejdźmy do omawiania prędkości każdej z kaczek oddzielnie. Przyjmujemy, że we oś współrzędnych w układzie związanym z rzeką oraz w układzie związanym z brzegiem rzeki jest od lewej strony do prawej na rysunku, czyli tak jak narysowany został zwrot wektora prędkości rzeki ${\vec{v}}_r$.

Prędkość kaczki pierwszej

Z rysunku odczytujemy, że prędkość kaczki pierwszej i prędkość rzeki mają ten sam zwrot. Zapiszemy więc:

$v_{\text{k}1.\text{b}}=v_1+v_r$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{k}1.\text{b}}=1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}+0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}=2,3\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Prędkość kaczki drugiej

Z rysunku odczytujemy, że prędkość kaczki drugiej i prędkość rzeki mają ten sam zwrot. Zapiszemy więc:

$v_{\text{k}2.\text{b}}=v_2+v_r$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{k}.2\text{b}}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}+0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Prędkość kaczki trzeciej

Z rysunku odczytujemy, że prędkość kaczki trzeciej i prędkość rzeki mają ten sam zwrot. Zapiszemy więc:

$v_{\text{k}3.\text{b}}=v_2+v_r$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{k}.3\text{b}}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}+0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Prędkość kaczki czwartej

Z rysunku odczytujemy, że prędkość kaczki czwartej jest przeciwnie zwrócona do prędkości rzeki. Zapiszemy więc:

$v_{\text{k}4.\text{b}}=-v_1+v_r$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{k}.3\text{b}}=-1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}+0,8\frac{\text{m}}{\text{s}}=-0,7\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Pierwsza kaczka poruszała się z prędkością 2,3 ^m/_s względem brzegu rzeki, natomiast druga i trzecia kaczka z prędkością 1,8 ^m/_s. Czwarta kaczka poruszała się względem brzegu rzeki z prędkością -0,7 ^m/_s.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$v_{12}=\text{?}$

$v_{34}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że prędkości kaczki pierwszej i drugiej mają ten sam zwrot i kierunek. Do wyznaczenia prędkości względnej kaczek musimy rozważyć układ związany z jedną z kaczek. Przykładowo wyznaczmy prędkość kaczki pierwszej w układzie związanym z kaczką drugą. 

Zauważmy, że jeżeli ciało porusza się z z prędkością ${\vec{v}}_1$ względem układu I, a układ I porusza się względem układu II z prędkością $\vec{u}$ to wówczas prędkość ciała w układzie II ${\vec{v}}_2$ jest sumą wektorów prędkości ${\vec{v}}_1$ i $\vec{u}$:

${\vec{v}}_2={\vec{v}}_1+\vec{u}$

Widzimy, że mamy styczność z wektorami, zatem wzór na wartość prędkości będzie zależna od zwrotu i kierunku danego wektora. 

Prędkość z jaką poruszają się względem siebie kaczki 1. i 2.

W naszym przypadku mamy prędkość kaczki 2. ${\vec{v}}_2$ w układzie związanym z wodą. Skoro względem nieruchomej wody kaczka 2. porusza się z prędkością ${\vec{v}}_2$ to w układzie związanym z nieporuszającą się kaczką 2. woda w rzece "ucieka" do tyłu z prędkością $-{\vec{v}}_2$. Oznacza to, że układ związany z wodą porusza się względem układu związanym z kaczką 2. z prędkością:

$\vec{u}=-{\vec{v}}_2$

Wówczas zapiszemy, że prędkość kaczki 1. w układzie związanym z kaczką 2. opisuje wzór:

${\vec{v}}_{12}={\vec{v}}_1+\vec{u}$

${\vec{v}}_{12}={\vec{v}}_1+(-{\vec{v}}_2)$

${\vec{v}}_{12}={\vec{v}}_1-{\vec{v}}_2$

Wszystkie prędkości mają ten sam kierunek i leżą na jednej linii, zatem powyższy wzór możemy zapisać w postaci skalarnej:

$v_{12}=v_1-v_2$

Wprowadzamy wartości poszczególnych prędkości:

$v_{12}=1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}-1\frac{\text{m}}{\text{s}}=0,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Prędkość z jaką poruszają się względem siebie kaczki 3. i 4.

Wykonujemy analogiczne kroki do wyznaczenia prędkości względnej kaczek 3. i 4. Jednak w tym przypadku zauważmy, że prędkość kaczki 4. jest przeciwnie zwrócona do przyjętego przez nas kierunku osi, czyli od lewej do prawej. Zatem jeżeli kaczka 4. porusza się z prędkością $-{\vec{v}}_1$ względem nieporuszającej się wody to w układzie związanym z nieporuszającą się kaczką 4. woda "ucieka" do tyłu z prędkością ${\vec{v}}_1$. Oznacza to, że układ związany z wodą porusza się względem układu związanym z kaczką 4. z prędkością:

$\vec{u}={\vec{v}}_1$

Wówczas zapiszemy, że prędkość kaczki 3. w układzie związanym z kaczką 4. opisuje wzór:

$v_{34}={\vec{v}}_2+\vec{u}$

${\vec{v}}_{34}={\vec{v}}_2+{\vec{v}}_1$

Wszystkie prędkości mają ten sam kierunek i leżą na jednej linii, zatem powyższy wzór możemy zapisać w postaci skalarnej:

$v_{34}=v_2+v_1$

Wprowadzamy wartości poszczególnych prędkości:

$v_{34}=1\frac{\text{m}}{\text{s}}+1,5\frac{\text{m}}{\text{s}}=2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Kaczki 1. i 2. poruszają się względem siebie z prędkością o wartości 0,5 ^m/_s, natomiast kaczki 3. i 4. poruszają się względem siebie z prędkością o wartości 2,5 ^m/_s.

 

$\mathbf{c})$

Dane:

$d=10\text{m}$

Z poprzedniego podpunktu:

$v_{34}=2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Szukane:

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Kaczki wyruszyły naprzeciw siebie. Zakładamy, że każda z nich poruszała się ruchem jednostajnym, czyli ze stałą prędkością. Wówczas w czasie $t$ kaczka 3. przebyła drogę $s_1$, a kaczka 4. (w tym samym czasie) przebyła drogę $s_2$. Zamiast rozważania przebytej drogi przez każdą z kaczek możemy rozważyć poruszanie się kaczki 3. względem kaczki 4. Wówczas kaczka 3. musi przebyć drogę $d$ w czasie $t$ z prędkością $v_{34}$, ponieważ kaczka 4. w układzie związanym z kaczką 4. jest nieruchoma.

Drogę w ruchu jednostajnym opisuje wzór:

$s=vt$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v$ - wartość prędkości ciała,

$t$ - czas ruchu ciała.

W naszym przypadku drogę jaką przebywają kaczki wynosi:

$s=d$

Natomiast prędkość:

$v=v_{34}$

Wówczas:

$d=v_{34}t|:v_{34}$

$\frac{d}{v_{34}}=t$

$t=\frac{d}{v_{34}}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t=\frac{10\text{m}}{2,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{10}{2,5}\cancel{\text{m}}\cdot \frac{\text{s}}{\cancel{\text{m}}}=4\text{s}$

Odpowiedź: Kaczki spotkają się po czasie 4 s.