Dane:

$l=1,6\text{m}$

$m_w=4\text{kg}$

$m_p=8\text{g}=0,008\text{kg}$

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$\alpha =30^{\circ }$

Szukane:

$v_p=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości pocisku przed uderzeniem w wahadło balistyczne. Pocisk porusza się z pewną prędkością i uderza w klocek, a po zderzeniu wbija się w niego. Rozważmy pędy pocisku i wahadła balistycznego przed i po zderzeniu.

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Pocisk przed zderzeniem porusza się z pewną szukaną przez nas szybkością i wartość pędu ma wówczas postać:

$p_{p.0}=m_p{v}_p$

gdzie:

$p_{p.0}$ - wartość pędu pocisku zaraz przed zderzeniem z wahadłem balistycznym, 

$m_p$ - masa pocisku, 

$v_p$ - wartość prędkości pocisku przed zderzeniem (szukana). 

Przed zderzeniem wahadło balistyczne jest nieruchome, czyli jego wartość pędu jest zerowa:

$p_{w.0}=0$

gdzie:

$p_{w.0}$ - wartość pędu wahadła balistycznego przed zderzeniem. 

Po zderzeniu pocisk jest wbity w klocek, czyli poruszają się już razem i ich masa jest sumą mas przed zderzeniem. Dlatego wartość pędu po zderzeniu ma postać:

$p_{p.w}=\left(m_p+m_w\right)v$

gdzie:

$p_{p.w}$ - wartość pędu wahadła balistycznego wraz z pociskiem po zderzeniu, 

$m_w$ - masa wahadła balistycznego, 

$v$ - szybkość układu po zderzeniu. 

Korzystając z zasady zachowania pędu otrzymamy równanie:

$p_{p.0}+p_{w.0}=p_{p.w}$

$m_p{v}_p+0=\left(m_p+m_w\right)v|:m_p$

$v_p=\frac{m_p+m_w}{m_p}\cdot v$

Zauważmy, że nie znamy szybkości, z jaką po zderzeniu unosi się wahadło balistyczne. Znamy jednak kąt, o jaki się ono odchyli po uderzeniu. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$l$ - długość lin, 

$h$ - wysokość, na jaką podniesie się wahadło, 

$\alpha$ - kąt, o jaki się odchyli wahadło. 

Wahadło wraz z wbitym z niego pociskiem wzniesie się na pewną maksymalną wysokość. Wówczas zgodnie z zasadą zachowania energii, energia kinetyczna wahadła tuż po zderzeniu zamieni się w jego energię potencjalną:

$E_k=E_p$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna, 

$E_p$ - energia potencjalna. 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

Energie te dla naszego przypadku przedstawić możemy wzorami:

$E_k=\frac{1}{2}\left(m_p+m_w\right)v^2$

$E_p=\left(m_p+m_w\right)gh$

Z rysunku pomocniczego wynika, że:

$\cos \alpha =\frac{l-h}{l}|\cdot l$

$l\cos \alpha =l-h|+h$

$h+l\cos \alpha =l|-l\cos \alpha$

$h=l-l\cos \alpha$

$h=l\left(1-\cos \alpha \right)$

Wówczas szybkość z jaką po zderzeniu porusza się wahadło balistyczne wraz z pociskiem będzie miała postać:

$E_k=E_p$

$\frac{1}{2}\xcancel{\left(m_p+m_w\right)}{v}^2=\xcancel{\left(m_p+m_w\right)}gh$

$\frac{1}{2}{v}^2=gh|\cdot 2$

$v^2=2gh|\sqrt{}$

$v=\sqrt{2gh}$

$v=\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}$

Wartość prędkości pocisku przed uderzeniem w klocek będzie miała postać:

$v_p=\frac{m_p+m_w}{m_p}\cdot v$

$v_p=\frac{m_p+m_w}{m_p}\sqrt{2gl\left(1-\cos \alpha \right)}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_p=\frac{4\text{kg}+0,008\text{kg}}{0,008\text{kg}}\cdot \sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,6\text{m}\cdot \left(1-\cos 30^{\circ }\right)}=$

$=\frac{4,008\cancel{\text{kg}}}{0,008\cancel{\text{kg}}}\cdot \sqrt{31,392\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1-0,866\right)}=$

$=501\cdot \sqrt{31,392\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot 0,134}=$

$=501\cdot \sqrt{4,206528\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 501\cdot 2,051\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=1027,551\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 1030\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości pocisku przed uderzeniem w klocek wynosi około $1030\frac{\text{m}}{\text{s}}$.