Naszym zadaniem jest obliczenie ilorazu mas cięższej i lżejszej monety trzema sposobami:

$\text{1)}$ z zasady zachowania pędu dla kierunku $x$, 

$\text{2)}$ z zasady zachowania pędu dla kierunku $y$, 

$\text{3)}$ z zasady zachowania energii.

Szukamy zatem ilorazu:

$\boxed{\frac{M}{m}=?}$

gdzie:

$m$ - masa lżejszej monety, 

$M$ - masa cięższej monety. 

Zacznijmy od naszkicowania w układzie współrzędnych sytuacji przedstawionej w zadaniu, ponieważ podane mamy następujące współrzędne wektorów prędkości:

${\vec{u}}_1=\left[v,0\right]$

${\vec{v}}_1=\left[\frac{v}{6},-\frac{5}{6}v\right]$

${\vec{v}}_2=\left[\frac{v}{6},\frac{v}{6}\right]$

Wykonajmy rysunek - po lewej sytuacja przed zderzeniem, a po prawej po zderzeniu:

gdzie:

${\vec{u}}_1$ - prędkość lżejszej monety przed zderzeniem, 

${\vec{u}}_2$ - prędkość cięższej monety przed zderzeniem (zerowa), 

${\vec{v}}_1$ - prędkość lżejszej monety po zderzeniu, 

${\vec{v}}_{1.x}$ - pozioma składowa prędkości lżejszej monety, 

${\vec{v}}_{1.y}$ - pionowa składowa prędkości lżejszej monety, 

${\vec{v}}_2$ - prędkość cięższej monety po zderzeniu, 

${\vec{v}}_{2.x}$ - pozioma składowa prędkość cięższej monety, 

${\vec{v}}_{2.y}$ - pionowa składowa prędkości cięższej monety. 

Chcemy obliczyć stosunek mas korzystając z zasady zachowania pędu oraz energii. Pęd jest wielkością wektorową, której kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości poruszającego się ciała:

$\vec{p}=m\vec{v}$

gdzie:

$\vec{p}$ - wektor pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$\vec{v}$ - wektor prędkości ciała.

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

W naszym przypadku mamy do czynienia ze zderzeniem centralnie sprężystym, dlatego rozważamy w tym przypadku jedynie energię kinetyczną w ruchu postępowym monet. Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

W poszczególnych sposobach obliczeń stosunku masy będziemy korzystali z powyższych wzorów. Rozważmy każdy z nich!

---

$1)$ Zasada zachowania pędu dla kierunku $x$. 

Rozważamy wyłącznie wektory sił skierowane poziomo, czyli wzdłuż osi Ox:

gdzie:

${\vec{u}}_{1.x}$ - pozioma składowa prędkości początkowej lżejszej monety, 

${\vec{u}}_{2.x}$ - pozioma składowa prędkości początkowej cięższej monety. 

Wartości pędów poszczególnych monet będą miały postać:

$p_{\mathrm{1.0.}x}=m{u}_{1.x}$

$p_{\mathrm{2.0.}x}=M{u}_{2.x}$

$p_{1.x}=m{v}_{1.x}$

$p_{2.x}=M{v}_{2.x}$

gdzie:

$p_{\mathrm{1.0.}x}$ - wartość pędu początkowego lżejszej monety w kierunku $x$, 

$p_{\mathrm{2.0.}x}$ - wartość pędu początkowego cięższej monety w kierunku poziomym, 

$p_{1.x}$ - wartość pędu lżejszej monety po zderzeniu, w kierunku poziomym, 

$p_{2.x}$ - wartość pędu cięższej monety po zderzeniu, w kierunku poziomym.  

Z zasady zachowania pędu, z której wynika, że wartość pędów w układzie ciał nie zmienia się, otrzymamy równanie:

$p_{\mathrm{1.0.}x}+p_{\mathrm{2.0.}x}=p_{1.x}+p_{2.x}$

$m{u}_{1.x}+M{u}_{2.x}=m{v}_{1.x}+M{v}_{2.x}$

Ze współrzędnych podanych z treści zadania wiemy, że wartości tych prędkości, które uwzględniają zwroty względem kierunków osi układy współrzędnego, będą miały postać: 

$u_{1.x}=v$

$u_{2.x}=0$

$v_{1.x}=\frac{v}{6}$

$v_{2.x}=\frac{v}{6}$

Wówczas:

$mv+M\cdot 0=m\cdot \frac{v}{6}+M\cdot \frac{v}{6}$

$m\cancel{v}=\frac{1}{6}m\cancel{v}+\frac{1}{6}M\cancel{v}|\cdot 6$

$6m=m+M|-m$

$5m=M|:m$

$5=\frac{M}{m}$

$\frac{M}{m}=5$

 Metodą tą otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większa masę od lżejszej monety.

---

$2)$ Zasada zachowania pędu dla kierunku $y$. 

Tutaj rozważmy wektory prędkości i ich składowe i kierunku pionowym, czyli:

gdzie:

${\vec{u}}_{1.y}$ - pionowa składowa prędkości początkowej lżejszej monety, 

${\vec{u}}_{2.y}$ - pionowa składowa prędkości początkowej cięższej monety. 

W tym przypadku wartości pędów monet będą miały postać:

$p_{\mathrm{1.0.}y}=m{u}_{1.y}$

$p_{\mathrm{2.0.}y}=M{u}_{2.y}$

$p_{1.y}=m{v}_{1.y}$

$p_{2.y}=M{v}_{2.y}$

gdzie:

$p_{\mathrm{1.0.}y}$ - wartość pędu początkowego lżejszej monety w kierunku $y$,

$p_{\mathrm{2.0.}y}$ - wartość pędu początkowego cięższej monety w kierunku pionowym,  

$p_{1.y}$ - wartość pędu lżejszej monety po zderzeniu w kierunku pionowym, 

$p_{2.y}$ - wartość pędu cięższej monety po zderzeniu w kierunku pionowym.

Z zasady zachowania pędu, dla tego przypadku otrzymamy równanie:

$p_{\mathrm{1.0.}y}+p_{\mathrm{2.0.}y}=p_{1.y}+p_{2.y}$

$m{u}_{1.y}+M{u}_{2.y}=m{v}_{1.y}+M{v}_{2.y}$

Ze współrzędnych podanych z treści zadania wiemy, że wartości tych prędkości, które uwzględniają zwroty względem kierunków osi układy współrzędnego, będą miały postać: 

$u_{1.y}=0$

$u_{2.y}=0$

$v_{1.y}=-\frac{5}{6}v$

$v_{2.y}=\frac{v}{6}$

Wówczas:

$m\cdot 0+M\cdot 0=m\cdot \left(-\frac{5}{6}v\right)+M\cdot \frac{v}{6}$

$0+0=-\frac{5}{6}mv+\frac{1}{6}Mv|+\frac{5}{6}mv$

$\frac{5}{6}m\cancel{v}=\frac{1}{6}M\cancel{v}|\cdot 6$

$5m=M|:m$

$5=\frac{M}{m}$

$\frac{M}{m}=5$

Podobnie, jak wcześniej, otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większą masę od lżejszej monety.

---

$3)$ Zasada zachowania energii. 

Tym razem należy skorzystać z zasady zachowania energii. Energie są wielkościami skalarnymi, czyli rozważamy wartości prędkości i nie interesuje nas ich kierunek i zwrot. Mamy:

$E_{k.0.1}=\frac{1}{2}m{u}_1^2$

$E_{k.0.2}=\frac{1}{2}M{u}_2^2$

$E_{k.1}=\frac{1}{2}m{v}_1^2$

$E_{k.2}=\frac{1}{2}M{v}_2^2$

gdzie:

$E_{k.0.1}$ - początkowa energia kinetyczna lżejszej monety, 

$E_{k.0.2}$ - początkowa energia kinetyczna cięższej monety, 

$E_{k.1}$ - energia kinetyczna lżejszej monety po zderzeniu, 

$E_{k.2}$ - energia kinetyczna cięższej monety po zderzeniu. 

Z zasady zachowania energii otrzymamy równanie:

$E_{k.0.1}+E_{k.0.2}=E_{k.1}+E_{k.2}$

$\frac{1}{2}m{u}_1^2+\frac{1}{2}M{u}_2^2=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2|\cdot 2$

$m{u}_1^2+M{u}_2^2=m{v}_1^2+M{v}_2^2$

Z treści zadania wiemy, że:

$u_1=v$

$u_2=0$

Z pierwszego rysunku wykonanego w tym zadaniu oraz twierdzenia Pitagorasa wynika, że kwadrat wartości prędkości lżejszej monety po zderzeniu będzie miał postać:

$v_1^2={\left(\frac{v}{6}\right)}^2+{\left(-\frac{5}{6}v\right)}^2$

$v_1^2=\frac{1}{36}{v}^2+\frac{25}{36}{v}^2$

$v_1^2=\frac{26}{36}{v}^2$

$v_1^2=\frac{13}{18}{v}^2$

Podobnie, kwadrat wartości prędkości cięższej monety po zderzeniu będzie miał postać:

$v_2^2={\left(\frac{v}{6}\right)}^2+{\left(\frac{v}{6}\right)}^2$

$v_2^2=\frac{1}{36}{v}^2+\frac{1}{36}{v}^2$

$v_2^2=\frac{2}{36}{v}^2$

$v_2^2=\frac{1}{18}{v}^2$

Wówczas z zasady zachowania energii wynika, że:

$m{v}^2+M\cdot 0^2=m\cdot \frac{13}{18}{v}^2+M\cdot \frac{1}{18}{v}^2$

$m{v}^2=\frac{13}{18}m{v}^2+\frac{1}{18}M{v}^2|\cdot 18$

$18m\cancel{v^2}=13m\cancel{v^2}+M\cancel{v^2}$

$18m=13m+M|-13m$

$5m=M|:m$

$5=\frac{M}{m}$

$\frac{M}{m}=5$

Po raz kolejny otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większą masę od lżejszej monety.