Naszym zadaniem jest obliczenie ilorazu mas cięższej i lżejszej monety trzema sposobami:
z zasady zachowania pędu dla kierunku ,
z zasady zachowania pędu dla kierunku ,
z zasady zachowania energii.
Szukamy zatem ilorazu:
gdzie:
- masa lżejszej monety,
- masa cięższej monety.
Zacznijmy od naszkicowania w układzie współrzędnych sytuacji przedstawionej w zadaniu, ponieważ podane mamy następujące współrzędne wektorów prędkości:
Wykonajmy rysunek - po lewej sytuacja przed zderzeniem, a po prawej po zderzeniu:

gdzie:
- prędkość lżejszej monety przed zderzeniem,
- prędkość cięższej monety przed zderzeniem (zerowa),
- prędkość lżejszej monety po zderzeniu,
- pozioma składowa prędkości lżejszej monety,
- pionowa składowa prędkości lżejszej monety,
- prędkość cięższej monety po zderzeniu,
- pozioma składowa prędkość cięższej monety,
- pionowa składowa prędkości cięższej monety.
Chcemy obliczyć stosunek mas korzystając z zasady zachowania pędu oraz energii. Pęd jest wielkością wektorową, której kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości poruszającego się ciała:
gdzie:
- wektor pędu ciała,
- masa ciała,
- wektor prędkości ciała.
Wartość pędu możemy wyrazić jako:
gdzie:
- wartość pędu ciała,
- masa ciała,
- wartość prędkości ciała.
W naszym przypadku mamy do czynienia ze zderzeniem centralnie sprężystym, dlatego rozważamy w tym przypadku jedynie energię kinetyczną w ruchu postępowym monet. Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:
gdzie:
- energia kinetyczna ciała,
- masa ciała,
- szybkość, z jaką ciało się porusza.
W poszczególnych sposobach obliczeń stosunku masy będziemy korzystali z powyższych wzorów. Rozważmy każdy z nich!
Zasada zachowania pędu dla kierunku .
Rozważamy wyłącznie wektory sił skierowane poziomo, czyli wzdłuż osi Ox:

gdzie:
- pozioma składowa prędkości początkowej lżejszej monety,
- pozioma składowa prędkości początkowej cięższej monety.
Wartości pędów poszczególnych monet będą miały postać:
gdzie:
- wartość pędu początkowego lżejszej monety w kierunku ,
- wartość pędu początkowego cięższej monety w kierunku poziomym,
- wartość pędu lżejszej monety po zderzeniu, w kierunku poziomym,
- wartość pędu cięższej monety po zderzeniu, w kierunku poziomym.
Z zasady zachowania pędu, z której wynika, że wartość pędów w układzie ciał nie zmienia się, otrzymamy równanie:
Ze współrzędnych podanych z treści zadania wiemy, że wartości tych prędkości, które uwzględniają zwroty względem kierunków osi układy współrzędnego, będą miały postać:
Wówczas:
Metodą tą otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większa masę od lżejszej monety.
Zasada zachowania pędu dla kierunku .
Tutaj rozważmy wektory prędkości i ich składowe i kierunku pionowym, czyli:

gdzie:
- pionowa składowa prędkości początkowej lżejszej monety,
- pionowa składowa prędkości początkowej cięższej monety.
W tym przypadku wartości pędów monet będą miały postać:
gdzie:
- wartość pędu początkowego lżejszej monety w kierunku ,
- wartość pędu początkowego cięższej monety w kierunku pionowym,
- wartość pędu lżejszej monety po zderzeniu w kierunku pionowym,
- wartość pędu cięższej monety po zderzeniu w kierunku pionowym.
Z zasady zachowania pędu, dla tego przypadku otrzymamy równanie:
Ze współrzędnych podanych z treści zadania wiemy, że wartości tych prędkości, które uwzględniają zwroty względem kierunków osi układy współrzędnego, będą miały postać:
Wówczas:
Podobnie, jak wcześniej, otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większą masę od lżejszej monety.
Zasada zachowania energii.
Tym razem należy skorzystać z zasady zachowania energii. Energie są wielkościami skalarnymi, czyli rozważamy wartości prędkości i nie interesuje nas ich kierunek i zwrot. Mamy:
gdzie:
- początkowa energia kinetyczna lżejszej monety,
- początkowa energia kinetyczna cięższej monety,
- energia kinetyczna lżejszej monety po zderzeniu,
- energia kinetyczna cięższej monety po zderzeniu.
Z zasady zachowania energii otrzymamy równanie:
Z treści zadania wiemy, że:
Z pierwszego rysunku wykonanego w tym zadaniu oraz twierdzenia Pitagorasa wynika, że kwadrat wartości prędkości lżejszej monety po zderzeniu będzie miał postać:
Podobnie, kwadrat wartości prędkości cięższej monety po zderzeniu będzie miał postać:
Wówczas z zasady zachowania energii wynika, że:
Po raz kolejny otrzymaliśmy, że stosunek mas monet jest równy 5, czyli cięższa moneta ma 5 razy większą masę od lżejszej monety.
Ewelina Wysopal
Nauczycielka fizyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

