TREŚĆ:

Zadanie 1.

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili $t_A$ i następnie opadała pionowo w powietrzu. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność wartości $v$ prędkości kropli od czasu $t$ od chwili $t_A=0\mathrm{s}$ do chwili $t_F=4\mathrm{s}$, w której kropla uderzyła o podłoże.

Na wykresie oznaczono wybrane punkty $A,B,C,D,E,F$. Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza ${\vec{F}}_o$ oraz siła grawitacji ${\vec{F}}_g$ (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)
• kropla jest kulą o promieniu $R$, a jej masa się nie zmienia
• wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem:

$F_o=k{\rho }_{p}S{v}^2$

gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, ${\rho }_p$ jest gęstością powietrza, $S$ jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, $v$ jest wartością prędkości kropli

• ruch kropli od chwili $t_D$ traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część $DF$ wykresu jest poziomym odcinkiem.

Zadanie 1.3.

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć $v_E$ - wartość prędkości, z jaką kropla opada w powietrzu ruchem jednostajnym prostoliniowym — w zależności od: promienia kropli $R$, gęstości powietrza ${\rho }_p$, gęstości wody ${\rho }_w$, wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ oraz współczynnika $k$. 

Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać tego wzoru.

Wskazówka: Objętość kuli o promieniu $R$ wyraża się wzorem $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

---

ROZWIĄZANIE:

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości kropli podczas spadania ruchem jednostajnym, który będzie zależny wyłącznie od wielkości $R$, ${\rho }_{\text{p}}$, ${\rho }_{\text{w}}$, $g$ oraz $k$.

Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona, jeśli kropla porusza się ruchem jednostajnym, to działające na nią siły muszą się równoważyć. Jedynymi siłami działającymi na kroplę są siła ciężkości ${\vec{F}}_{\text{g}}$ zwrócona w dół i siła oporu powietrza ${\vec{F}}_{\text{o}}$ zwrócona w górę, zatem ich wartości muszą być jednakowe:

$F_{\text{o}E}=F_{\text{g}}$

gdzie:

$F_{\text{o}E}$ - wartość siły oporu podczas ruchu jednostajnego,

$F_{\text{g}}$ - wartość siły ciężkości.

W treści zadania mamy podany wzór na wartość siły oporu. Jednak nas interesuje wartość tej siły w chwili $t_E$: