TREŚĆ:

Zadanie 1.

Kropla wody oderwała się od dachu budynku w chwili $t_A$ i następnie opadała pionowo w powietrzu. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność wartości $v$ prędkości kropli od czasu $t$ od chwili $t_A=0\mathrm{s}$ do chwili $t_F=4\mathrm{s}$, w której kropla uderzyła o podłoże.

Na wykresie oznaczono wybrane punkty $A,B,C,D,E,F$. Ruch kropli opisujemy w układzie odniesienia związanym z ziemią i zakładamy, że jest to układ inercjalny.

Do analizy zagadnienia przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

• podczas opadania kropli działają na nią dwie siły: siła oporu powietrza ${\vec{F}}_o$ oraz siła grawitacji ${\vec{F}}_g$ (pomijamy siłę wyporu aerostatycznego)
• kropla jest kulą o promieniu $R$, a jej masa się nie zmienia
• wartość siły oporu działającej na kroplę wyraża się wzorem:

$F_o=k{\rho }_{p}S{v}^2$

gdzie $k$ jest pewnym współczynnikiem, ${\rho }_p$ jest gęstością powietrza, $S$ jest polem przekroju poprzecznego przez środek kropli, $v$ jest wartością prędkości kropli

• ruch kropli od chwili $t_D$ traktujemy jako jednostajny prostoliniowy, czyli przyjmij, że część $DF$ wykresu jest poziomym odcinkiem.

Zadanie 1.2.

Punkt $K$ na diagramach 1.-2. reprezentuje kroplę. Długość boku kratki na każdym diagramie odpowiada umownej jednostce siły. Na diagramach 1.-2. narysowano siłę grawitacji działającą na kroplę, natomiast nie narysowano siły oporu ${\vec{F}}_o$.

Na diagramie 1. narysuj i oznacz siłę oporu ${\vec{F}}_{oE}$ przyłożoną w punkcie $K$, działającą na kroplę w chwili $t_E=3,6\mathrm{s}$. Na diagramie 2. narysuj i oznacz siłę oporu ${\vec{F}}_{oB}$ przyłożoną w punkcie $K$, działającą na kroplę w chwili $t_B=0,4\mathrm{s}$.

Zachowaj odpowiednie kierunki, zwroty oraz dokładne długości wektorów, odpowiadające wartościom tych sił. Wykorzystaj fakt, że wartość siły oporu jest wprost proporcjonalna do kwadratu wartości prędkości kropli $F_o\propto v^2$.

 

---

ROZWIĄZANIE:

 Uzasadnienie: 

Diagram 1.

Sytuacja na pierwszym diagramie dotyczy chwili $t_E=3,6\mathrm{s}$. Z wykresu zależności szybkości kropli od czasu możemy wywnioskować, że w podanej chwili kropla porusza się ruchem jednostajnym. Oznacza to, że działające na nią siły, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona muszą się równoważyć, czyli siła oporu powietrza ${\vec{F}}_{\text{o}}$ ma taką samą wartość jak siła ciężkości ${\vec{F}}_{\text{g}}$, tylko zwrócona jest przeciwnie do niej. Wektor siły oporu będzie więc zwrócony w górę, a jego długość będzie taka sama, jak długość wektora ${\vec{F}}_{\text{g}}$. Z rysunku odczytujemy, że wektor ${\vec{F}}_{\text{g}}$ ma długość $8\text{kratek}$. Rysujemy więc wektor ${\vec{F}}_{\text{o}}$ zwrócony pionowo w górę o długości $8\text{kratek}$.

 

Diagram 2.

Sytuacja na drugim diagramie dotyczy chwili $t_B=0,4\mathrm{s}$. Z wykresu możemy wywnioskować, że jest to chwila, w której kropla zwiększa swoją szybkość, czyli porusza się z pewnym przyspieszeniem. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona kropla porusza się więc pod wpływem działania niezerowej siły wypadkowej, a zatem siła oporu musi mieć mniejszą wartość niż siła ciężkości. Siła oporu będzie zwrócona przeciwnie do kierunku ruchu, czyli w górę, ale musimy ustalić jeszcze jej wartość. Skorzystamy z faktu, że wartość siły oporu jest wprost proporcjonalna do kwadratu szybkości:

$F_{oB}\propto v_B^2$

gdzie:

$F_{oB}$ - wartość siły oporu działającej na kroplę w chwili $t_B$,

$v_B$ - wartość prędkości kropli w chwili $t_B$.

Aby określić długość wektora, musimy odnieść się do sytuacji, w której tę długość znamy, czyli sytuacji z diagramu 1. Wówczas spełniona jest zależność:

$F_{oE}\propto v_E^2$

gdzie:

$F_{oE}$ - wartość siły oporu działającej na kroplę w chwili $t_E$,

$v_E$ - wartość prędkości kropli w chwili $t_E$.

Korzystając z wykresu, odczytujemy:

$v_B=3,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$v_E=7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

 Zatem:

$\frac{F_{oB}}{F_{oE}}=\frac{v_B^2}{v_E^2}|\cdot F_{oE}$

$F_{oB}=\frac{v_B^2}{v_E^2}{F}_{oE}$

Wstawiamy wartości odczytane z wykresu:

$F_{oB}=\frac{{\left(3,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{{\left(7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{F}_{oE}$

$F_{oB}=\frac{12,25\cancel{\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}{49\cancel{\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}{F}_{oE}$

$F_{oB}=\frac{1}{4}{F}_{oE}$

Wektor ${\vec{F}}_{oB}$ będzie więc 4 razy krótszy niż wektor ${\vec{F}}_{oE}$, czyli jednocześnie 4 razy krótszy od wektora ${\vec{F}}_g$. Skoro więc wektor ${\vec{F}}_{\text{g}}$ ma na rysunku długość $8\text{kratek}$, to wektor ${\vec{F}}_{\text{o}B}$ będzie miał długość $2\text{kratek}$. Rysujemy na rysunku wektor ${\vec{F}}_{\text{o}B}$ zwrócony pionowo w górę o długości $2\text{kratek}$.

 Odpowiedź: 

Rysujemy wektory sił oporów dla każdej z sytuacji:

Diagram 1	Diagram 2