ROZWIĄZANIE:

Dane:

$v_{0P}=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_F=35\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$d_0=40\text{m}$  

$t_0=0$  

$a=6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$d_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

W pierwszym kroku przeanalizujmy opisaną sytuację. Wiemy, że w chwili początkowej samochody znajdują się w pewnej znanej odległości od siebie i każdy z nich porusza się z inną szybkością, przy czym samochód osobowy jedzie szybciej niż policyjny. Szukamy maksymalnej odległości między samochodami, a więc zastanówmy się, do jakiego momentu dystans dzielący pojazdy będzie się zwiększać. Skoro samochód osobowy jedzie szybciej, to początkowo oddala się od radiowozu, ale odległość ta przestanie się zwiększać w chwili, w której samochód policyjny rozpędzi się do szybkości równej szybkości samochodu osobowego. Od tego momentu dalsze przyspieszanie radiowozu spowoduje zmniejszanie się odległości dzielącej pojazdy. Możemy więc stwierdzić, że samochody będzie dzielić maksymalna odległość w chwili, w której ich prędkości uzyskają takie same wartości:

$v_P=v_F$

gdzie:

$v_P$ - wartość prędkości samochodu policyjnego w chwili, kiedy odległość dzieląca samochody jest maksymalna,

$v_F$ - wartość prędkości samochodu osobowego.

Dodatkowo wiemy, że samochód policyjny porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, a więc jego szybkość zmienia się zgodnie ze wzorem:

$v_P=v_{0P}+a{t}_{\max }$

gdzie:

$v_{0P}$ - wartość prędkości samochodu policyjnego w chwili, w której zaczął przyspieszać,

$a$ - wartość przyspieszenia samochodu policyjnego,

$t_{\max }$ - czas przyspieszania, po którym odległość dzieląca samochody jest maksymalna.

Wyznaczamy wzór na czas:

$v_P=v_{0P}+a{t}_{\max }|-v_{0P}$

$v_P-v_{0P}=a{t}_{\max }|:a$

$t_{\max }=\frac{v_P-v_{0P}}{a}$

$t_{\max }=\frac{v_F-v_{0P}}{a}$

Wiemy więc, po jakim czasie odległość między samochodami będzie największa. Zwróćmy uwagę, że w tym czasie każdy z samochodów przejechał pewną odległość, przy czym droga przebyta przez samochód osobowy była większa niż pokonana przez radiowóz. Odległość między samochodami zwiększyła się więc dodatkowo o różnicę dróg pokonanych przez pojazdy. Ostatecznie odległość dzieląca samochody wynosi więc:

$d_{\max }=d_0+\Delta s$

gdzie:

$d_{\max }$ - maksymalna odległość dzieląca samochody,

$d_0$ - odległość między samochodami w chwili początkowej,

$\Delta s$ - różnica dróg przejechanych przez samochody.

Samochód osobowy pokonał większą odległość, więc różnicę dróg wyrazimy jako:

$\Delta s=s_F-s_P$

gdzie:

$s_F$ - droga przebyta przez samochód osobowy,

$s_P$ - droga przebyta przez samochód policyjny.

Samochód osobowy poruszał się ruchem jednostajnym, zatem przebytą przez niego drogę wyrazimy jako:

$s_F=v_F{t}_{\max }$

Samochód policyjny poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, więc pokonana przez niego droga to:

$s_P=v_{0P}{t}_{\max }+\frac{1}{2}a{t}_{\max }^2$

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na maksymalną odległość:

$d_{\max }=d_0+\Delta s$

$d_{\max }=d_0+\left(s_F-s_P\right)$

$d_{\max }=d_0+\left(v_F{t}_{\max }-\left(v_{0P}{t}_{\max }+\frac{1}{2}a{t}_{\max }^2\right)\right)$

$d_{\max }=d_0+\left(v_F{t}_{\max }-v_{0P}{t}_{\max }-\frac{1}{2}a{t}_{\max }^2\right)$

$d_{\max }=d_0+t_{\max }\left(v_F-v_{0P}-\frac{1}{2}a{t}_{\max }\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_F-v_{0P}}{a}\left(v_F-v_{0P}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v_F-v_{0P}}{\cancel{a}}\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_F-v_{0P}}{a}\left(v_F-v_{0P}-\frac{1}{2}\left(v_F-v_{0P}\right)\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_F-v_{0P}}{a}\left(v_F-v_{0P}-\frac{1}{2}{v}_F+\frac{1}{2}{v}_{0P}\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_F-v_{0P}}{a}\left(\frac{1}{2}{v}_F-\frac{1}{2}{v}_{0P}\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_F-v_{0P}}{2a}\left(v_F-v_{0P}\right)$

$d_{\max }=d_0+\frac{{\left(v_F-v_{0P}\right)}^2}{2a}$

Wstawiamy dane i obliczamy:

$d_{\max }=40\mathrm{m}+\frac{{\left(35\frac{\text{m}}{\text{s}}-20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=40\mathrm{m}+\frac{{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=40\mathrm{m}+\frac{225\frac{\text{m}}{\text{s}}}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=18,75\text{m}+40\text{m}=58,75\text{m}$  

Odpowiedź: Maksymalna odległość pomiędzy samochodami wynosiła 58,75 m.