$1.$

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest stwierdzenie, która z gwiazd - Hadar czy Aldebaran - ma większą temperaturę na powierzchni. Aby to zrobić skorzystamy z prawa Wiena, które mówi, że moc promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez ciało doskonale czarne przyjmuje najwyższą wartość dla długości fali odwrotnie proporcjonalnej do temperatury ciała. To prawo możemy zapisać za pomocą wzoru:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T}$

gdzie:

${\lambda }_{\text{max}}$ - długość fali odpowiadająca maksymalnej mocy promieniowania,

$T$ - temperatura bezwzględna ciała (w kelwinach),

$b$ - stała Wiena.

Naszym celem jest porównanie dwóch ciał. W tym celu dokonujemy przekształcenia tego równania do postaci:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T}|\cdot T$

${\lambda }_{\text{max}}T=b$

$b={\lambda }_{\text{max}}T$

Z powyższego widać, że iloczyn długości fali i temperatury zawsze daje tę samą wartość, więc możemy zastosować to równanie dla obu ciał i zapisać:

${\lambda }_{\text{Hmax}}{T}_{\text{H}}={\lambda }_{\text{Amax}}{T}_{\text{A}}$

gdzie:

${\lambda }_{\text{Hmax}}$ - długość fali odpowiadająca maksymalnej mocy promieniowania Hadara,

${\lambda }_{A\text{max}}$ - długość fali odpowiadająca maksymalnej mocy promieniowania Aldebarana,

$T_{\text{H}}$ - temperatura Hadara,

$T_{\text{A}}$ - temperatura Aldebarana.

Wzór możemy przekształcić do postaci:

${\lambda }_{\text{Hmax}}{T}_{\text{H}}={\lambda }_{\text{Amax}}{T}_{\text{A}}|:T_A{\lambda }_{\text{Hmax}}$

$\frac{T_{\text{H}}}{T_{\text{A}}}=\frac{{\lambda }_{\text{Amax}}}{{\lambda }_{\text{Hmax}}}$

Nie znamy dokładnych długości fal wypromieniowanych przez obie gwiazdy, jednak wiemy, że Hadar to błękitny olbrzym, a zatem emituje niebieskie światło, natomiast Aldebaran to czerwony olbrzym, czyli emituje światło czerwone. Wiadomo, że długość światła niebieskiego jest krótsza niż czerwonego, więc możemy zapisać:

${\lambda }_{\text{Amax}}>{\lambda }_{\text{Hmax}}|:{\lambda }_{\text{Hmax}}$

$\frac{{\lambda }_{\text{Amax}}}{{\lambda }_{\text{Hmax}}}>1$

Dzieląc powyższe równanie przez długość fali, nie musimy martwić się o zmianę znaku, ponieważ długość fali jest zawsze dodatnia.

Korzystając z równania na proporcje długości fali możemy dokonać podstawienia i otrzymujemy:

$\frac{T_{\text{H}}}{T_{\text{A}}}>1|\cdot T_{\text{A}}$

$T_{\text{H}}>T_{\text{A}}$

Powyższe temperatury są wyrażone w Kelwinach, więc możemy pomnożyć nierówność przez temperaturę Aldebarana, nie martwiąc się o zmianę znaku, ponieważ w skali Kelwina nie występują wartości ujemne.

 Odpowiedź: 

Temperatura na powierzchni Hadara jest wyższa niż na powierzchni Aldebarana.

 

$2.$

Dane:

$T_{\text{Cz}}=4000\text{K}$

$T_{\text{B}}=20000\text{K}$

$\frac{R_{\text{K}}}{R_{\text{Cz}}}=10^{-5}$

Szukane:

$\frac{P_{\text{B}}}{P_{\text{Cz}}}=?$

Rozwiązanie:

UWAGA! W opracowanym zadaniu odpowiedź podana na stronie różni się od tej podanej w zbiorze zadań. W szkicu rozwiązać autorzy podali, że wzór na pole kuli to $S=4\pi R^3$. Podnosząc długości do sześcianu otrzymujemy objętość, a nie pole powierzchni. Prawidłowa formuła to $P=4\pi R^2$.

Naszym celem jest obliczenie stosunku mocy emitowanej przez Aldebarana, gdy był białym karłem do mocy emitowanej gdy był czerwonym olbrzymem. W tym celu możemy skorzystać z prawa Stefana - Boltzmanna. To prawo opisuje nam zależność całkowitej mocy wypromieniowywanej przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze:

$\Phi =\sigma T^4$

gdzie:

$\Phi$ - strumień energii wypromieniowanej w jednostce powierzchni,

$\sigma$ - stała Stefana - Boltzmanna,

$T$ - temperatura ciała doskonale czarnego. 

Nie znamy dokładnej wartości strumienia, jednak wiemy, że wielkość ta opisuje ilość energii wypromieniowaną przez jednostkę powierzchni na jednostkę czasu. Korzystając z tych informacji możemy zapisać:

$\Phi =\frac{P}{S}$

gdzie:

$P$ - moc promieniowania ciała,

$S$ - pole powierzchni ciała.

Ponieważ oba te wzory opisują tę samą wielkość, możemy zapisać:

$\frac{P}{S}=\sigma T^4|\cdot S$

$P=\sigma T^{4}S$

Gwiazdy mają kształt kuli, więc ich powierzchnia jest dana wzorem:

$S=4\pi R^2$

gdzie:

$\pi$ - liczba pi,

$R$ - promień gwiazdy.

Podstawiając to do wzoru na moc otrzymujemy:

$P=\sigma T^{4}4\pi R^2$

Gdy Aldebaran był czerwonym olbrzymem to moc z jaką promieniował możemy zapisać:

$P_{\text{Cz}}=\sigma T_{\text{Cz}}^{4}4\pi R_{\text{Cz}}^2$

Gdy ewoluował do w białego karła:

$P_{\text{B}}=\sigma T_{\text{B}}^{4}4\pi R_{\text{B}}^2$ 

Naszym celem jest obliczenie stosunku tych dwóch wielkości, więc:

$\frac{P_{\text{B}}}{P_{\text{Cz}}}=\frac{\sigma T_{\text{Cz}}^{4}4\pi R_{\text{Cz}}^2}{\sigma T_{\text{B}}^{4}4\pi R_{\text{B}}^2}$

Po skróceniu wartości w ułamku

$\frac{P_{\text{B}}}{P_{\text{Cz}}}={\left(\frac{T_{\text{Cz}}}{T_{\text{B}}}\right)}^4\cdot {\left(\frac{R_{\text{Cz}}}{R_{\text{B}}}\right)}^2$

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy:

${\frac{P_{\text{B}}}{P_{\text{Cz}}}=\left(\frac{20000\text{K}}{4000\text{K}}\right)}^4\cdot {(10^{-5})}^2=$

$=5^4\cdot 10^{-10}=625\cdot 10^{-10}=6,25\cdot 10^{-8}$

Odpowiedź: Aldebaran po ewolucji w białego karła ma moc promieniowania $6,25\cdot 10^{-8}$ niż gdy był czerwonym olbrzymem.