W zadaniu przyjmujemy, że nie ma wiatru...- Zadanie 460: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

$1 .$

Uzasadnienie:

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tą zależność ma postać:

$f = f_{0} \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{\overset{z}{ˊ}}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f_{0}$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{o}$ - szybkość z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,

$v_{\overset{z}{ˊ}}$ - szybkość z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

🔷 Pierwsze zdanie

Jeżeli źródło porusza się ruchem jednostajnym i oddala się od nieruchomego odbiornika, to otrzymujemy wzór:

$f = f_{0} \frac{v}{v + v _{\overset{z}{ˊ}}}$

Ponieważ mianownik jest większy od licznika, to ułamek będzie mniejszy od jeden, czyli częstotliwość jest mniejsza, ale stała.

🔷Drugie zdanie

Jeżeli przechodzień biegnie do stojącej karetki to częstotliwość dźwięku odbierana przez przechodnia ma postać:

$f^{'} = f_{0} \frac{v + v _{o}}{v}$

Jeżeli karetka zbliża się do przechodnia z tą samą prędkością co przechodzień wcześniej biegł, to częstotliwość odbierana przez przechodnia ma postać:

$f^{''} = f_{0} \frac{v}{v - v _{o}}$

Porównajmy obie częstotliwości:

$f^{'} < f^{''}$

$f \frac{v + v _{o}}{v} < f \frac{v}{v - v _{o}}$

$\frac{v + v _{o}}{v} < \frac{v}{v - v _{o}}$

$(v + v_{o}) (v - v_{o}) < v^{2}$

$v^{2} - v_{o}^{2} < v^{2}$

$- v_{o}^{2} < 0$

Otrzymujemy nierówność prawdziwą, oznacza to, że częstotliwość $f^{'}$ jest mniejsza od częstotliwości $f^{''}$ .

Odpowiedź:

🔷 Pierwsze zdanie

Jeżeli źródło dźwięku o stałej częstotliwości oddala się ruchem jednostajnym od nieruchomego odbiornika, to częstotliwość odbierana przez odbiornik jest stała i mniejsza od częstotliwości dźwięku emitowanego przez źródło.

🔷Drugie zdanie

Częstotliwość dźwięku syreny karetki docierającego do ucha przechodnia jest mniejsza wtedy, gdy przechodzień biegnie do stojącej karetki, niż wtedy, gdy karetka zbliża się z prędkością o tej samej wartości do stojącego przechodnia.

$2 .$

Dane:

$f_{0} = 3000 Hz$

$f = 3050 Hz$

$v = 330 \frac{m}{s}$

Szukane:

$v_{o} = ?$

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru opisującego zjawisko Dopplera:

$f = f_{0} \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{\overset{z}{ˊ}}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f_{0}$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{o}$ - szybkość z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,

$v_{\overset{z}{ˊ}}$ - szybkość z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Źródło dźwięku jest nieruchome, a obserwator zbliża się do niego. Zatem:

$f = f_{0} \frac{v + v _{o}}{v}$

Wyznaczamy szybkość kutra.

$f v = f_{0} v + f_{0} v_{o}$

$f_{0} v_{o} = f v - f_{0} v$

$f_{0} v_{o} = (f - f_{0}) v$

$v_{o} = \frac{f - f _{0}}{f _{0}} v$

$v_{o} = (\frac{f}{f _{0}} - 1) v$

Obliczamy szukaną szybkość kutra.

$v_{o} = (\frac{3050 Hz}{3000 Hz} - 1) \cdot 330 \frac{m}{s} \approx (1, 017 - 1) \cdot 330 \frac{m}{s} = 0, 017 \cdot 330 \frac{m}{s} = 5, 61 \frac{m}{s}$