Dane:

$U=100\text{V}\sin \left(5\frac{\text{rad}}{\text{s}}\cdot t\right)$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżonej wartości liczby pi: $\pi =3,14$

 

$1.$

Szukane:

$f=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie częstotliwości zmian napięcia. W tym celu najpierw musimy porównać wzór na napięcie z zadania z ogólnym wzorem na napięcie chwilowe prądu przemiennego:

$U\left(t\right)=U_{\max }\sin \left(\omega t+\varphi \right)$

gdzie:

$U$ - napięcie chwilowe,

$U_{\max }$ - napięcie maksymalne,

$\omega$ - częstość kołowa zmian napięcia,

$t$ - czas,

$\varphi$ - faza początkowa.

Po porównaniu tych dwóch wzorów otrzymujemy, że:

$U_{\max }=100\text{V}$, $\varphi =0$ oraz $\omega =5\frac{\text{rad}}{\text{s}}$.

Wiemy, że częstość kołową zmian napięcia jest wyrażana wzorem:

$\omega =2\pi f$

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$f$ - częstotliwość zmian napięcia.

Możemy przekształcić wzór w celu otrzymania $f$:

$\omega =2\pi f|:2\pi$

$\frac{\omega }{2\pi }=f$

$f=\frac{\omega }{2\pi }$

Podstawiając wcześniej wyznaczoną wartość częstości kołowej zmian napięcia, możemy obliczyć częstotliwość zmian napięcia:

$f=\frac{5\frac{\text{rad}}{\text{s}}}{2\cdot 3,14}=\frac{5}{6,28}\frac{1}{\text{s}}\approx 0,796\text{Hz}$

Odpowiedź: Częstotliwość zmian napięcia wynosi około 0,796 Hz.

 

$2.$

Dane:

$R=50\mathrm{\Omega }$

Szukane:

$I_{sk}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie natężenia skutecznego dla zmiennego napięcia. Wiemy, że jest ono wyrażane wzorem:

$I_{\text{sk}}=\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$

gdzie:

$I_{\text{sk}}$ - natężenie skuteczne prądu przemiennego,

$I_{\text{max}}$ - natężenie maksymalne prądu przemiennego,

Aby obliczyć wartość natężenia skutecznego najpierw musimy wyznaczyć wartość maksymalną natężenia. Wyznaczamy ją ze wzoru na natężenie wynikającego z prawa Ohma:

$I=\frac{U}{R}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądu płynącego przez opornik,

$U$ - napięcie,

$R$ - opór opornika.

Interesuje nas maksymalna wartość natężenia prądu. Ponieważ opór jest stały, natężenie zależy wyłącznie od napięcia, więc przy maksymalnym napięciu osiągniemy również maksymalne natężenie. Wyrażamy to za pomocą wzoru:

$I_{\text{max}}=\frac{U_{\text{max}}}{R}$

gdzie:

$U_{\text{max}}$ - maksymalna wartość napięcia.

Maksymalną wartość napięcia odczytaliśmy w poprzednim podpunkcie. Wzór na maksymalne natężenie prądu podstawiamy do wzoru na natężenie skuteczne i otrzymujemy: 

$I_{\text{sk}}=\frac{\frac{U_{\text{max}}}{R}}{\sqrt{2}}$

$I_{\text{sk}}=\frac{U_{\text{max}}}{R\sqrt{2}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$I_{\text{sk}}=\frac{100\text{V}}{50\mathrm{\Omega }\sqrt{2}}=\frac{100}{50\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\text{V}}{\mathrm{\Omega }}=$

$=\frac{2\sqrt{2}}{2}\text{A}=\sqrt{2}\text{A}\approx 1,41\text{A}$

Odpowiedź: Natężenie skuteczne prądu wynosi około 1,41 A.