Dane:

$\Delta t_1=10\text{s}$

$\Delta t_2=40\text{s}$

$\Delta t_3=20\text{s}$

$n_1=25$

 

$\mathrm{1.1.}$  

Szukane:

${\epsilon }_1=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości przyspieszenia kątowego tarczy w ruchu jednostajnie przyspieszonym, czyli na pierwszym etapie ruchu. Wiemy, że tarcza w czasie przyspieszenia wykonała $n_1$  obrotów. Jeden obrót odpowiada kątowi pełnemu, czyli $2\pi$ . Zatem całkowity kąt zakreślony przez tarczę w czasie przyspieszania wyznaczymy jako iloczyn liczby wykonanych obrotów oraz kąta pełnego:

${\alpha }_1=2\pi n_1$  

gdzie:

${\alpha }_1$ - kąt zakreślony przez tarczę w czasie przyspieszania (pierwszego etapu ruchu), 

Tarcza porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej, czyli kąt przez nią zakreślany możemy również wyrazić wzorem:

${\alpha }_1=\frac{1}{2}{\epsilon }_1\Delta t_1^2$  

gdzie:

${\epsilon }_1$ - wartość przyspieszenia kątowego na pierwszym etapie ruchu, czyli w czasie przyspieszania, 

$\Delta t_1$ - czas w jakim zmieniała się szybkość na pierwszym etapie ruchu (gdy tarcza przyspieszała).

Wówczas wartość przyspieszenia kątowego tarczy na pierwszym etapie ruchu możemy przedstawić wzorem:

$\frac{1}{2}{\epsilon }_1\Delta t_1^2={\alpha }_1$

$\frac{1}{2}{\epsilon }_1\Delta t_1^2=2\pi n_1|\cdot 2$

${\epsilon }_1\Delta t_1^2=4\pi n_1|:\Delta t_1^2$

${\epsilon }_1=\frac{4\pi n_1}{\Delta t_1^2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\epsilon }_1=\frac{4\cdot \pi \cdot 25}{{\left(10\text{s}\right)}^2}=\frac{100\pi }{100{\text{s}}^2}=$

$=\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}\approx 3,14\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: W ruchu jednostajnie przyspieszonym wartość przyspieszenia kątowego wynosi około 3,14 rad/s.

 

$\mathrm{1.2.}$  

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności szybkości kątowej tarczy od czasu podczas całego ruchu. Rozważamy kolejno etapy ruchu tarczy. 

▶ Etap 1 - od rozpoczęcia ruchu przez pierwsze 10 sekund ruchu. 

Kołowa tracza wprawiona w ruch przyspiesza. Wiemy, że całkowity czas ruchu tarczy na tym etapie wynosi:

$\Delta t_1=10\text{s}$

Tarcza wówczas ruszała z miejsca, czyli jej czas początkowy oraz szybkość kątowa są zerowe:

$t_0=0\text{s}$

${\omega }_0=0\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

Oznacza to, że na końcu tego ruchu czas możemy wyznaczyć ze wzoru:

$\Delta t_1=t_1-t_0$

gdzie:

$\Delta t_1$ - zmiana czasu w pierwszym etapie ruchu, 

$t_1$ - czas na końcu tego etapu ruchu, 

$t_0$ - czas na początku tego etapu ruchu. 

Z tego wynika, że końcowy czas ruchu będzie wynosił:

$t_1-t_0=\Delta t_1|+t_0$

$t_1=t_0+\Delta t_1$

Obliczmy ten czas:

$t_1=0\text{s}+10\text{s}=10\text{s}$

Wartość szybkości kątowej na końcu tego ruchu możemy wyznaczyć korzystając z definicji przyspieszenia kątowego. Poprzez analogie do ruchu postępowego, wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, 

$\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała, 

$\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje. 

Zmianę szybkości kątowej na tym etapie ruchu przedstawimy zależnością:

$\Delta {\omega }_1={\omega }_1-{\omega }_0$

gdzie:

$\Delta {\omega }_1$ - zmiana szybkości kątowej na pierwszym etapie ruchu, 

${\omega }_0$ - szybkość kątowa na początku ruchu (zerowa),

${\omega }_1$ - szybkość kątowa na końcu ruchu.

Z powyższych zależności wynika, szybkość kątowa na końcu ruchu będzie wynosiła:

$\frac{\Delta {\omega }_1}{\Delta t_1}={\epsilon }_1$

$\frac{{\omega }_1-{\omega }_0}{\Delta t_1}=\frac{4\pi n_1}{\Delta t_1^2}|\cdot \Delta t_1$

${\omega }_1-0=\frac{4\pi n_1}{\Delta t_1}$

${\omega }_1=\frac{4\pi n_1}{\Delta t_1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\omega }_1=\frac{4\cdot \pi \cdot 25}{10\text{s}}=\frac{100\pi }{10\text{s}}=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$

▶ Etap 2 - przez kolejne 40 sekund ruchu. 

Wówczas kołowa tarcza porusza się ruchem jednostajnym. Zmianę czasu na tym etapie ruchu przedstawimy wzorem:

$\Delta t_2=t_2-t_1$

gdzie:

$\Delta t_2$ - zmiana czasu na drugim etapie ruchu, 

$t_1$ - czas początkowy dla drugiego etapu ruchu, 

$t_2$ - czas końcowy dla drugiego etapu ruchu. 

Z tego wynika, że czas końcowy dla drugiego etapu, licząc od chwili, gdy tarcza zaczęła się poruszać będzie miał postać:

$t_2-t_1=\Delta t_2|+t_1$

$t_2=t_1+\Delta t_2$

Obliczamy czas ruchu:

$t_2=10\text{s}+40\text{s}=50\text{s}$

W tym przypadku tarcza porusza się ruchem jednostajnym, czyli szybkość kątowa na końcu tego ruchu jest taka sama jak, na jego początku:

${\omega }_2={\omega }_1$

${\omega }_2=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$

▶ Etap 3 - przez ostatnie 20 sekund ruchu. 

Wówczas tarcza hamuje, czyli porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym. Na początku ruchu szybkość kątowa tarczy wynosi:

${\omega }_2=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$

Na końcu ruchu tarcza się zatrzymuje, czyli jej końcowa szybkość kątowa jest zerowa:

${\omega }_3=0$

Zmiana czasu dla tego przypadku będzie miała postać:

$\Delta t_3=t_3-t_2$

gdzie:

$\Delta t_3$ - zmiana czasu na ostatnim etapie ruchu (w czasie hamowania), 

$t_2$ - początkowy czas ruchu dla tego etapu, 

$t_3$ - końcowy czas ruchu dla tego etapu i całego ruchu tarczy. 

Z tego wynika, że czas końcowy dla trzeciego etapu (ostatniego), licząc od chwili, gdy tarcza zaczęła się poruszać będzie miał postać:

$t_3-t_2=\Delta t_3|+t_2$

$t_3=t_2+\Delta t_3$

Obliczamy ten czas:

$t_3=50\text{s}+20\text{s}=70\text{s}$

Wykonajmy wykres zależności szybkością kątowej tarczy od czasu:

 

$\mathrm{1.3.}$  

Szukane:

${\omega }_{\text{sˊr}}=?$

Rozwiązanie:

Średnią szybkość kątową obliczymy jako iloraz całkowitego kąta zakreślonego przez tarczę w ciągu całego ruchu:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta \alpha }{\Delta t}$  

gdzie:

${\omega }_{\text{sˊr}}$ - średnia szybkość kątowa, 

$\Delta \alpha$ - całkowity kąt zakreślony w czasie ruchu kołowej tarczy, 

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu tarczy. 

Całkowity czas ruchu tarczy będzie sumą czasów trwania poszczególnych etapów ruchu:

$\Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3$

Całkowity kąt zakreślony przez tarczę możemy obliczyć jako pole pod wykresem zależności szybkości kątowej od czasu:

Zauważmy, że jest to trapez o podstawach: 

$a=70\text{s}$  

$b=50\text{s}-10\text{s}=40\text{s}$  

Wysokość tego trapezu wynosi:

$h=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Zatem kąt zakreślony przez tarczę w ciągu całego ruchu wynosi:

$\Delta \alpha =\frac{1}{2}\left(a+b\right)h$  

Obliczmy wartość tego kąta:

$\Delta \alpha =\frac{1}{2}\cdot \left(70\text{s}+40\text{s}\right)\cdot 10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 110\text{s}\cdot 10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}=550\pi \text{rad}$  

Oznacza to, że średnia szybkość kątowa tarczy będzie wynosiła:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{550\pi \text{rad}}{70\text{s}}\approx 8\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}=$

$=8\cdot 3,14\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 25\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

Odpowiedź:  Podczas całego ruchu średnia szybkość kątowa tarczy wynosi około 25 rad/s.

 

$\mathrm{1.4.}$  

 Uzasadnienie:  

W ruchu jednostajnie przyspieszonym wartość przyspieszenia tej tarczy wynosi:

${\epsilon }_1=\frac{10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}}{10\text{s}}=\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

W ruchu jednostajnie opóźnionym wartość opóźnienia kątowego wynosi:

${\epsilon }_2=\frac{10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}}{20\text{s}}=0,5\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

Z tego wynika, że:

$\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}=\frac{\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}}{0,5\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}}=2$  

Wówczas:

${\epsilon }_1=2{\epsilon }_2$  

Zatem wartość momentu siły działającego na tą tarczę, gdy przyspiesza ma postać:

$M_1=I{\epsilon }_1=I2{\epsilon }_2=2I{\epsilon }_2=2M_2$  

 Odpowiedź: 

Związek między wartościami wypadkowych momentów sił działających na tarczę podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego (M₁) i jednostajnie opóźnionego (M₂) przedstawia relacja $A.M_1=2M_2$, a związek między wartościami przyspieszeń kątowych ε₁ i ε₂ tarczy w tych ruchach przedstawia relacja $3.{\epsilon }_1=2{\epsilon }_2$.