Dane:

$m=0,8\text{kg}$

$F=3\text{N}$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$a=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości przyspieszenia liniowego walca, na który nawinięto cienką taśmę. Ważnym w tym przypadku założeniem jest, że toczył się on bez poślizgu. Na walec działają siły pochodzące od ciągnięcia nici (wzdłuż nici) oraz tarcia statycznego (zwrócona przeciwnie do kierunku toczenia się walca). Wykonajmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy siły działające na walec oraz momenty sił wyznaczone za pomocą reguły śruby prawoskrętnej:

gdzie:

$R$ - promień walca,  

$m$ - masa walca, 

$O$ - oś obrotu walca, 

$\vec{F}$ - siła, z jaką ciągnięta jest nić walca, 

${\vec{T}}_s$ - siła tarcia statycznego działająca na toczący się walec, 

$\vec{M}$ - moment siły pochodzący od siła, z jaką walec był ciągnięty, 

${\vec{M}}_s$ - moment siły pochodzący od wartości siły tarcia statycznego. 

W punkcie styku z podłożem nitka ciągnięta jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Dlatego siła tarcia ma zwrot przeciwny do prędkości ruchu obrotowego walca. 

Zacznijmy od zapisania II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca. Wówczas równanie ruchu ma postać:

$ma=F+T_s$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego walca, 

$F$ - wartość siły, z jaką walec jest ciągnięty, 

$T_s$ - wartość siły tarcia statycznego działającej na toczący się walec. 

Wówczas wartość siły tarcia statycznego możemy przedstawić wzorem:

$F+T_s=ma|-F$

$T_s=ma-F$

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymamy równanie:

$I\epsilon =M-M_s$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego walca, 

$M$ - wartość momentu siły wynikającego z siły ciągnącej nitkę, 

$M_s$ - wartość momentu siły wynikającego z działania siły tarcia stycznej do podłoża. 

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{R}^2$

gdzie:

$m$ - masa walca, 

$R$ - promień walca. 

Wartość przyspieszenia kątowego ciała w zależności od przyspieszenia liniowego ma postać:

$\epsilon =\frac{a}{R}$

Z rysunku możemy zauważyć, że wektor ramienia przyłożenia siły jest prostopadły do wektora siły. Oznacza to wartość momentu siły pochodzącej od siły ciągnącej nitkę zgodnie z definicją będzie wynosiła:

$M=RF$

Natomiast wartość momentu siły pochodzącego od siły tarcia statycznego będzie miała postać:

$M_s=R{T}_s$

Oznacza to, że zgodnie z równaniem zapisanym z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymamy, że wartość przyspieszenia liniowego będzie miała postać:

$I\epsilon =M-M_s$

$\frac{1}{2}m{R}^{\cancel{2}}\cdot \frac{a}{\cancel{R}}=RF-R{T}_s$

$\frac{1}{2}ma\cancel{R}=\cancel{R}F-\cancel{R}\left(ma-F\right)$

$\frac{1}{2}ma=F-ma+F|+ma$

$\frac{1}{2}ma+ma=2F$

$\frac{3}{2}ma=2F|\cdot 4$

$3ma=4F|:3m$

$a=\frac{4F}{3m}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{4\cdot 3\text{N}}{3\cdot 0,8\text{kg}}=\frac{12\text{N}}{2,4\text{kg}}=$

$=\frac{12\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2,4\cancel{\text{kg}}}=5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia liniowego walca wynosi 5 m/s².

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$F_s=?$

Rozwiązanie:

Wartość siły tarcia statycznego działającej na walec możemy przedstawić za pomocą zależności, które zostały już opisane w powyższym podpunkcie. Zgodnie z tym otrzymujemy, że:

$T_s=ma-F$

$T_s=\cancel{m}\cdot \frac{4F}{3\cancel{m}}-F$

$T_s=\frac{4}{3}F-\frac{3}{3}F$

$T_s=\frac{1}{3}F$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_s=\frac{1}{3}\cdot 3\text{N}=1\text{N}$

Odpowiedź: Wartość siły tarcia statycznego działającej na walec wynosi 1 N.