Dwie jednakowe metalowe kulki naelektryzowane...- Zadanie 7: Fizyka 2. Zakres rozszerzony. Wydanie 2023

Rozwiązanie

Dane:

$Q_{1} = 200 nC$

$Q_{2} = - 500 nC$

Szukane:

$r_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Różnoimiennie naelektryzowane kulki mogą poruszać się bez tarcia po izolowanym podłożu, dlatego będą się przyciągać aż do zetknięcia. Po zetknięciu potencjał kulek się wyrówna, czyli część ładunku przepłynie z jednej kulki na drugą. Możemy więc zapisać:

$V_{1}^{'} = V_{2}^{'}$

gdzie:

$V_{1}^{'}$ - potencjał pierwszej kulki po zetknięciu kulek,

$V_{2}^{'}$ - potencjał drugiej kulki po zetknięciu kulek.

Potencjał pola elektrycznego na powierzchni naelektryzowanej kulki możemy przedstawić wzorem:

$V_{1}^{'} = \frac{k Q _{1}^{'}}{r _{1}}$

gdzie:

$Q_{1}^{'}$ - ładunek pierwszej kulki po zetknięciu,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$r_{1}$ - promień pierwszej kulki.

Dla drugiej kulki zapiszemy:

$V_{2}^{'} = \frac{k Q _{2}^{'}}{r _{2}}$

gdzie:

$Q_{2}^{'}$ - ładunek drugiej kulki po zetknięciu.

$r_{2}$ - promień drugiej kulki.

Na podstawie powyższych wzorów możemy zapisać:

$V_{1}^{'} = V_{2}^{'}$

$\frac{k Q _{1}^{'}}{r _{1}} = \frac{k Q _{2}^{'}}{r _{2}} ∣ : k$

$\frac{Q _{1}^{'}}{r _{1}} = \frac{Q _{2}^{'}}{r _{2}} ∣ \cdot r_{1}$

$Q_{1}^{'} = \frac{Q _{2}^{'} r _{1}}{r _{2}}$

Musimy rozważyć dwa przypadki.

Kulki są jednakowych rozmiarów.

Wówczas:

$r_{1} = r_{2}$

Zatem:

$Q_{1}^{'} = \frac{Q _{2}^{'} r _{1}}{r _{1}}$

$Q_{1}^{'} = Q_{2}^{'}$

Widzimy, że jeżeli kulki są jednakowe, to ładunek rozłoży się równomiernie.

Całkowity ładunek przed i po zetknięciu nie ulegnie zmianie, ze względu na izolowane podłoże:

$Q_{1} + Q_{2} = Q_{1}^{'} + Q_{2}^{'}$

gdzie:

$Q_{1}$ - ładunek pierwszej kulki przed zetknięciem,

$Q_{2}$ - ładunek drugiej kulki przed zetknięciem.

Wykazaliśmy, że ładunki po zetknięciu będą takie same, więc możemy uprościć wyrażenie:

$Q_{1} + Q_{2} = Q_{1}^{'} + Q_{1}^{'}$

$Q_{1} + Q_{2} = 2 Q_{1}^{'} ∣ : 2$

$Q_{1}^{'} = \frac{Q _{1} + Q _{2}}{2}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$Q_{1}^{'} = \frac{200 nC + ( - 500 nC )}{2} = \frac{- 300 nC}{2} = - 150 nC$

Taki sam jest ładunek drugiej kulki po zetknięciu:

$Q_{2}^{'} = - 150 nC$

Po zetknięciu i przepływie ładunku z jednej kulki na drugą, obie kulki naelektryzowane są ujemnie, co oznacza, że zaczną się odpychać.

Kulki są różnych rozmiarów.

Z wzoru, który otrzymaliśmy, wyznaczmy stosunek ładunków, które ustalą się na kulkach po ich zetknięciu:

$Q_{1}^{'} = \frac{Q _{2}^{'} r _{1}}{r _{2}} ∣ : Q_{2}^{'}$

$\frac{Q _{1}^{'}}{Q _{2}^{'}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$

Widzimy więc, że ładunek zgromadzony na danej kulce po zetknięciu będzie tym większy, im większy promień ma dana kulka. Potencjały kulek po zetknięciu muszą być takie same, co oznacza, że bez względu na rozmiary kulki będą naładowane jednoimiennie, a więc będą się odpychać. W układzie mamy nadmiar elektronów, co oznacza, że po zetknięciu każda z kulek będzie naelektryzowana ujemnie.

Odpowiedź: Po zetknięciu kulki będą się odpychać a zgromadzony na nich ładunek będzie mieć wartość proporcjonalną do promienia kulki. Jeśli kulki będą takie same to na ładunek każdej z nich będzie wynosić -150 nC.