Dane:

▶ objętość piłki: $V=3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$,

▶ gęstość piłki: $d_p=0,93\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}$,

▶ gęstość wody: $d=1\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

▶ objętość części piłki wystającej ponad powierzchnię wody: $V_w=?$.

Rozwiązanie:

Piłka pływa po powierzchni wody, więc działające na nią siły (ciężkości i wyporu) się równoważą:

$F_{\text{g}}=F_{\text{A}}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły ciężkości,

$F_{\text{A}}$ - wartość siły wyporu.

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{\text{g}}=mg$ 

gdzie:

$m$ - masa piłki, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wartość siły wyporu możemy obliczyć korzystając z wzoru:

$F_{\text{A}}=V_{\text{z}}dg$ 

gdzie: 

$V_{\text{z}}$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonego w płynie,

$d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało.

Objętość piłki, która wystaje nad powierzchnię wody obliczymy jako:

$V_w=V-V_{\text{z}}$

gdzie:

$V_w$ - objętość wynurzonej części piłki,

$V$ - objętość piłki.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na objętość zanurzonej części piłki:

$F_{\text{g}}=F_{\text{A}}$

$m\cancel{g}=V_{\text{z}}d\cancel{g}|:d$

$V_{\text{z}}=\frac{m}{d}$

Wstawiamy wyrażenie do wzoru na objętość części piłki wystającej ponad powierzchnię wody:

$V_w=V-V_{\text{z}}$

$V_w=V-\frac{m}{d}$

Do wyznaczenia masy piłki skorzystamy z definicji gęstości:

$d_p=\frac{m}{V}$

gdzie:

$d_p$ - gęstość piłki. 

Wyznaczamy wyrażenie na masę:

$d_p=\frac{m}{V}|\cdot V$

$m=d_{p}V$

Wstawiamy do wcześniej wyznaczonego wzoru:

$V_w=V-\frac{m}{d}$

$V_w=V-\frac{d_{p}V}{d}$

$V_w=V\left(1-\frac{d_p}{d}\right)$

Wstawiamy dane liczbowe:

$V_w=3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\cdot \left(1-\frac{0,93\cancel{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}}{1\cancel{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}}\right)=$

$=3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\cdot 0,07\approx 0,22\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ 

Odpowiedź: Objętość części piłki wystającej ponad powierzchnię wody wynosi około 0,22 cm³.

 

$\mathbf{b})$ 

 Uzasadnienie: 

Aby opowiedzieć na to pytanie, możemy wstawić wartości liczbowe do wzoru wyznaczonego w punkcie a) wraz z nową wartością gęstości cieczy:

▶ gęstość oleju: $d=0,91\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}$.

Skorzystamy z wzoru:

$V_w=V\left(1-\frac{d_p}{d}\right)$ 

Wstawiamy dane liczbowe:

$V_w=3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\cdot \left(1-\frac{0,93\cancel{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}}{0,91\cancel{\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}}\right)\approx$

$\approx 3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\cdot \left(1-1,02\right)\approx$

$\approx 3,1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\cdot \left(-0,02\right)\approx$

$\approx -0,062\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Obliczona wartość wynurzonej z wody części piłki jest ujemna - taki wynik oznacza, że nawet fragment piłki nie będzie wystawać ponad powierzchnię cieczy - piłka zatonie. Można się było tego spodziewać porównując wartości gęstości piłki i oleju. Jeżeli gęstość ciała jest większa od gęstości cieczy, wówczas ciało opada na dno.

 Odpowiedź: 

Piłka zatonie, więc objętość zanurzonej części piłki jest równa objętości całej piłki, czyli wynosi 3,1 cm³.