Kolejnym ważnym aspektem w fizyce jest wykorzystywanie pochodny funkcji (najczęściej zależnych od czasu). Zgodnie z definicją pochodna funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_o$ jest wyrażona jako granica wyrażenia:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_o}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Załóżmy, że punkt $x$ leży w odległości $h$ od punktu $x_o$:

$x=x_o+h$

Biorąc pod uwagę powyższa zależność otrzymujemy, że pochodna funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_0$ jest zdefiniowana jako:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Ułamek, z którego wyznacza jest granica nazywamy jest ilorazem różnicowym.

Pochodna ma wiele zastosowań  w fizyce. Przykładowo: pochodną położenia ciała po czasie jest szybkość. Ale jak to możliwe? Już siadamy i wyjaśniamy.

Rozważmy sytuację, w której położenie ciała jest zależne od czasu i dane funkcją $x\left(t\right)$. Załóżmy, że interesuje nas wartość prędkości średniej jaką ciało posiadało od chwili $t_1$ do chwili $t_2$, przyjmując, że chwila $t_2$ jest dalej w czasie od chwili $t_1$ ($t_1<t_2$). Zatem całkowita droga przebyta przez to ciało w tym przedziale czasu opisuje wzór:

$\Delta s=x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)$

Czas w jakim ciało to przebyło tą drogę wynosi:

$\Delta t=t_2-t_1$

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

gdzie:

$\Delta s$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu ciała.

Wprowadzamy wyznaczone wielkości, czyli całkowita droga przebyta przez ciało oraz całkowity czas ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

Załóżmy teraz, że odległość chwili $t_2$ od chwili $t_1$ wynosi $h$:

$t_2=t_1+h$

Otrzymamy wówczas wzór na wartość prędkości średniej w postaci:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{x(t_1+h)-x(t_1)}{h}$

Zakładając, że odległość pomiędzy chwilą $t_2$, a chwilą $t_1$ dąży do 0 otrzymujemy definicję na pochodną położenia ciała po czasie, czyli wartość prędkości ciała:

$v=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x(t_1+h)-x(t_1)}{h}$

Zatem mamy:

$v=x^{\prime }\left(t\right)\left(\equiv \frac{d}{dt}x\left(t\right)\right)$

Analogiczna sytuacja jest w przypadku wyznaczania wartości przyspieszenia. Zauważmy, że wartość przyspieszenia (zgodnie z definicją) opisuje wzór:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$\Delta v$ - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Wykonajmy analogiczną analizę jak dla przemieszczenia, czyli załóżmy, że mamy podaną funkcję wartości prędkości w zależności od czasu $v\left(t\right)$. Interesuje nas wartość przyspieszenia jakie ciało uzyskało chwili $t_1$ do chwili $t_2$, przyjmując, że chwila $t_2$ jest dalej w czasie od chwili $t_1$ ($t_1<t_2$). Zatem zmiana szybkości ciało w tym przedziale czasu opisuje wzór:

$\Delta v=v\left(t_2\right)-v\left(t_1\right)$

Czas w jakim ciało to przebyło tą drogę wynosi:

$\Delta t=t_2-t_1$

Wprowadzamy wyznaczone wielkości, do wzoru na wartość przyspieszenia, czyli zmianę szybkości oraz czas w jakim zaszła zmiana szybkości:

$a=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$

Załóżmy teraz, że odległość chwili $t_2$ od chwili $t_1$ wynosi $h$:

$t_2=t_1+h$

Otrzymamy wówczas wzór na wartość przyspieszenia w postaci:

$a=\frac{v(t_1+h)-v(t_1)}{h}$

Zakładając, że odległość pomiędzy chwilą $t_2$, a chwilą $t_1$ dąży do 0 otrzymujemy definicję na pochodną szybkości ciała po czasie, czyli wartość przyspieszenia ciała:

$a=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v(t_1+h)-v(t_1)}{h}$

Zatem mamy wniosek, że pochodną z szybkości po czasie (w ogólności pochodna prędkości po czasie) jest równa wartości przyspieszenia ciała (w ogólności przyspieszenia ciała):

$a=v^{\prime }\left(t\right)\left(\equiv \frac{d}{dt}v\left(t\right)\right)$

Uwzględniając dodatkowo to, że szybkość jest pochodną położenia możemy zapisać, że wartość przyspieszenia jest drugą pochodną położeni po czasie:

$a=v^{\prime }\left(t\right)$

$a={\left(v\left(t\right)\right)}^{\prime }$

$a={\left(x^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }$

$a=x^{\prime \prime }\left(t\right)$

Zatem wyciągamy wniosek następujący:

Jeżeli położenie jest dane funkcją zależną od czasu to pochodna z położenia po czasie jest szybkością chwilową ciała, a druga pochodna położenia po czasie jest wartością chwilową przyspieszenia.

W poprzednim rozważaniu pokazaliśmy, że drugą pochodną położenia ciała jest przyspieszenie. Zauważmy, że informację tą można wykorzystać w różnych aspektach. W tym miejscu zostanie przedstawiony jeden z nich.

Rozważmy sytuację, że na ciało o masie $m=20\mathrm{kg}$, działa pewna siła, którą chcemy wyznaczyć jednoznacznie. Jedyną informacją jaką posiadamy jest położenie ciała dane funkcją:

$x\left(t\right)=3t^2-t^{}+1$

Zakładamy, że położenie ciała jest podane w metrach.

Mamy wyznaczyć, na podstawie tych dwóch znanych wielkości, jaka siła działała na ciało. Zauważmy, że wykorzystać do tego możemy II zasadę dynamiki Newtona oraz fakt, że drugą pochodną położenia jest przyspieszenie.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona jeżeli na ciało działa siła to ciało porusza się ruchem jednostajnym przyspieszonym. Wartość przyspieszenia ciała opisuje wzór:

$a=\frac{F}{m}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$F$ - wartość siły działającej na ciało,

$m$ - masa ciała.

Zauważmy, że przyspieszenie możemy wyznaczyć jako drugą pochodną położenia. Zatem II zasadę dynamiki Newtona możemy zapisać w postaci:

$\ddot{x}=\frac{F}{m}$

Przekształcając wzór otrzymamy:

$F=m\ddot{x}$

Widzimy więc, że wyznaczenie drugiej pochodnej położenia po czasie pozwoli na wyznaczenie siły jaka działała na ciało. Najpierw więc wyznaczamy drugą pochodną położenia:

$\dot{x}\left(t\right)=6t-1$

$\ddot{x}(t)=6\mathrm{m}$

Wprowadzamy wartość do wzoru na wartość siły i obliczamy:

$F=6\mathrm{m}\cdot 20\mathrm{kg}=120\mathrm{N}$

Przykład ten przedstawia zastosowanie pochodnej w rozwiązywaniu problemów fizycznych, natomiast równanie:

$\ddot{x}=\frac{F}{m}$

jest przykładem równania różniczkowego, za których pomocą możemy jednoznacznie opisać (ale nie zawsze rozwiązań) dany problem fizyczny.

Wstęp do rachunku całkowego

Znamy już pochodne, które są wykorzystywane w fizyce np. w równaniach różniczkowych, które omawialiśmy przed chwilą. Jednakże kolejnym działaniem matematycznym stosowanym w fizyce jest rachunek całkowy. Dla lepszego zwizualizowania o co chodzi w całkowaniu rozważmy prostą funkcję wartości prędkości zależną od czasu:

$v\left(t\right)=t^2-4t$

Na wykresie funkcja ta wygląda następująco:

Wiemy, że droga jaką przebyło ciało w całym ruchu jest polem powierzchni pod wykresem:

Zastanówmy się teraz jak możemy policzyć jak najdokładniej ten obszar. Zauważmy, że obszar ten możemy podzielić na prostokąty o szerokości np. $\Delta t=0.25$. Mamy więc:

Pole pierwszego prostokąta opisuje wzór:

$P_1=v\left(\Delta t\right)\Delta t$

Pole kolejnego prostokąta opisuje wzór:

$P_2=v\left(2\Delta t\right)\Delta t$

Widzimy więc, że pole $i$-tego prostokąta dane jest wzorem:

$P_i=v\left(i\cdot \Delta t\right)\Delta t$

Zatem pole wszystkich prostokątów zapisać możemy w postaci sumy:

$P=\sum _{i=1}^{n}v\left(i\cdot \Delta t\right)\Delta t$

gdzie $n$ jest ilością prostokątów. Zauważmy, że jeżeli będziemy zmniejszać szerokość prostokątów, czyli zmniejszać $\Delta t$ to wtedy prostokąty będą lepiej wypełniać pole pod wykresem. Przykładowo dla $\Delta t=0.02$ otrzymamy:

Okazuję się, że zmniejszając coraz bardziej i bardziej możemy założyć, że szerokość prostokątów dąży do zera: $\Delta t\to dt$. Z tego wyniknie również fakt, że ilość prostokątów będzie dążyć do nieskończoności $n\to \infty$ oraz  $i\cdot \Delta =t_{}$

Dzięki tej operacji możemy sumę zamienić na całkowanie:

$P=\underset{n\to \infty ,\Delta t\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}v\left(i\cdot \Delta t\right)\Delta t={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right)dt$