Rozszerzenie- Zadanie 1.1: Baza wiedzy - Fizyka

Rozwiązanie


wiedza rozszerzona	ważne informacje - zapamiętaj!	ważny wzór - zapamiętaj!	kliknij i otwórz przykładowe zadanie

Wektor, graficzne działania na wektorach, wielkość wektorowa i skalarna

Wektor jest jednym z najważniejszych obiektów matematycznych, którym można opisać wiele wielkości fizycznych np. siłę, prędkość lub przemieszczenie.

Wektorem nazywamy parę uporządkowanych punktów. Możemy go rozumieć jako strzałkę, która jest wyznaczona przez dwa punkty: punkt początkowy $A$ oraz punkt końcowy $B$ . Wektor posiada 3 charakterystyczne cechy:

długość wektora,
kierunek, który określa prosta zawierająca wektor,
zwrot, określony przez główkę strzałki.

Oczywiście wektor opisujemy dwoma punktami odpowiednio:

względem osi,
względem płaszczyzny,
względem przestrzeni trójwymiarowej.

Wektor w przestrzeni zdefiniowany jest za pomocą dwóch punktów:

$A = (x_{A}, y_{A}, z_{A}), oraz B = (x_{B}, y_{B}, z_{B})$

Wektor zbudowanych z tych dwóch punktów jest opisywany za pomocą trzech składowych:

$u = [u_{x} u_{y}, u_{z}] = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}]$

Długość wektora o danych współrzędnych opisuje wzór:

$∣ u ∣ = u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

Wektory są obiektami matematycznymi nad którymi można wykonywać różne operacje. Przykładem jest dodawanie lub odejmowanie wektorów. Jednakże istnieją dwa dodatkowe działania na wektorach, czyli:

iloczyn skalarny,
iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, a dokładniej sumą iloczynów odpowiednich składowych dwóch wektorów.

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \circ b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$

Jednakże wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów można zdefiniować jako iloczyn długości wektorów oraz kąta pomiędzy nimi:

$a \circ b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem iloczynu skalarnego jest praca wykonana przez siłę, która powoduje przemieszczenie.

Załóżmy, że na ciało działa siła o wektorze:

$F = [3 N, 2 N, 6 N]$

W wyniku działania tej siły ciało przemieściło się o wektor:

$r = [2 m, 1 m, - 0.5 m]$

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W = F \circ r$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez ciało,

$F$ - siła działająca na ciało powodująca jego przesunięcie,

$r$ - wektor przesunięcia ciała, na które działa siła.

Widzimy, że praca jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły oraz wektora przemieszczenia. Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny otrzymujemy:

$W = F_{x} \cdot r_{x} + F_{y} \cdot r_{y} + F_{z} \cdot r_{z}$

$W = 3 N \cdot 2 m + 2 N \cdot 1 m + 6 N \cdot (- 0, 5 m) =$

$= 6 J + 2 J - 3 J =$

$= 8 J - 3 J = 5 J$

Zatem siła przemieszczając ciało o wektor $r$ wykonała pracę równą 5 J.

Kolejnym możliwym działaniem na wektorach jest iloczyn wektorowy.

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów jest nowy wektor:

$a \times b = c$

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \times b = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Zatem nowy wektor zdefiniowany przez iloczyn wektorowy dwóch wektorów $a$ oraz $b$ zdefiniowany jest wzorem:

$c = [c_{x}, c_{y}, c_{z}] = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Długość powstałego wektora $c$ możemy opisać wzorem:

$∣ c ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem wielkości fizycznej, która wynika z wykorzystania iloczynu wektorowego dwóch innych wielkości fizycznych w fizyce jest moment siły.

Momentem siły działającym w punkcie przyłożenia siły względem osi obrotu bryły nazywamy wielkość wektorową zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora położenia punktu względem osi obrotu i wektora siły :

$M = r \times F$