Rozszerzenie- Zadanie 1.1: Baza wiedzy - Fizyka

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie


wiedza rozszerzona	ważne informacje - zapamiętaj!	ważny wzór - zapamiętaj!	kliknij i otwórz przykładowe zadanie

Wektor, graficzne działania na wektorach, wielkość wektorowa i skalarna

Wektor jest jednym z najważniejszych obiektów matematycznych, którym można opisać wiele wielkości fizycznych np. siłę, prędkość lub przemieszczenie.

Wektorem nazywamy parę uporządkowanych punktów. Możemy go rozumieć jako strzałkę, która jest wyznaczona przez dwa punkty: punkt początkowy $A$ oraz punkt końcowy $B$ . Wektor posiada 3 charakterystyczne cechy:

długość wektora,
kierunek, który określa prosta zawierająca wektor,
zwrot, określony przez główkę strzałki.

Oczywiście wektor opisujemy dwoma punktami odpowiednio:

względem osi,
względem płaszczyzny,
względem przestrzeni trójwymiarowej.

Wektor w przestrzeni zdefiniowany jest za pomocą dwóch punktów:

$A = (x_{A}, y_{A}, z_{A}), oraz B = (x_{B}, y_{B}, z_{B})$

Wektor zbudowanych z tych dwóch punktów jest opisywany za pomocą trzech składowych:

$u = [u_{x} u_{y}, u_{z}] = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}]$

Długość wektora o danych współrzędnych opisuje wzór:

$∣ u ∣ = u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

Wektory są obiektami matematycznymi nad którymi można wykonywać różne operacje. Przykładem jest dodawanie lub odejmowanie wektorów. Jednakże istnieją dwa dodatkowe działania na wektorach, czyli:

iloczyn skalarny,
iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, a dokładniej sumą iloczynów odpowiednich składowych dwóch wektorów.

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \circ b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$

Jednakże wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów można zdefiniować jako iloczyn długości wektorów oraz kąta pomiędzy nimi:

$a \circ b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem iloczynu skalarnego jest praca wykonana przez siłę, która powoduje przemieszczenie.

Załóżmy, że na ciało działa siła o wektorze:

$F = [3 N, 2 N, 6 N]$

W wyniku działania tej siły ciało przemieściło się o wektor:

$r = [2 m, 1 m, - 0.5 m]$

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W = F \circ r$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez ciało,

$F$ - siła działająca na ciało powodująca jego przesunięcie,

$r$ - wektor przesunięcia ciała, na które działa siła.

Widzimy, że praca jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły oraz wektora przemieszczenia. Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny otrzymujemy:

$W = F_{x} \cdot r_{x} + F_{y} \cdot r_{y} + F_{z} \cdot r_{z}$

$W = 3 N \cdot 2 m + 2 N \cdot 1 m + 6 N \cdot (- 0, 5 m) =$

$= 6 J + 2 J - 3 J =$

$= 8 J - 3 J = 5 J$

Zatem siła przemieszczając ciało o wektor $r$ wykonała pracę równą 5 J.

Kolejnym możliwym działaniem na wektorach jest iloczyn wektorowy.

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów jest nowy wektor:

$a \times b = c$

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \times b = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Zatem nowy wektor zdefiniowany przez iloczyn wektorowy dwóch wektorów $a$ oraz $b$ zdefiniowany jest wzorem:

$c = [c_{x}, c_{y}, c_{z}] = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Długość powstałego wektora $c$ możemy opisać wzorem:

$∣ c ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem wielkości fizycznej, która wynika z wykorzystania iloczynu wektorowego dwóch innych wielkości fizycznych w fizyce jest moment siły.

Momentem siły działającym w punkcie przyłożenia siły względem osi obrotu bryły nazywamy wielkość wektorową zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora położenia punktu względem osi obrotu i wektora siły :

$M = r \times F$

gdzie:

$M$ - wektor momentu siły,

$r$ - wektor położenia (nazywany również ramieniem siły),

$F$ - wektor siły.

Wartość momentu siły będzie miała postać:

$M = r F sin α$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$r$ - długość ramienia siły,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$α$ - kąt pomiędzy ramieniem siły, a wektorem siły,

Mateusz Bajda

Nauczyciel fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie


wiedza rozszerzona	ważne informacje - zapamiętaj!	ważny wzór - zapamiętaj!	kliknij i otwórz przykładowe zadanie

Wektor, graficzne działania na wektorach, wielkość wektorowa i skalarna

Wektor jest jednym z najważniejszych obiektów matematycznych, którym można opisać wiele wielkości fizycznych np. siłę, prędkość lub przemieszczenie.

długość wektora,
kierunek, który określa prosta zawierająca wektor,
zwrot, określony przez główkę strzałki.

Oczywiście wektor opisujemy dwoma punktami odpowiednio:

względem osi,
względem płaszczyzny,
względem przestrzeni trójwymiarowej.

Wektor w przestrzeni zdefiniowany jest za pomocą dwóch punktów:

$A = (x_{A}, y_{A}, z_{A}), oraz B = (x_{B}, y_{B}, z_{B})$

Wektor zbudowanych z tych dwóch punktów jest opisywany za pomocą trzech składowych:

$u = [u_{x} u_{y}, u_{z}] = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}]$

Długość wektora o danych współrzędnych opisuje wzór:

$∣ u ∣ = u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$

iloczyn skalarny,
iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, a dokładniej sumą iloczynów odpowiednich składowych dwóch wektorów.

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \circ b = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$

Jednakże wzór na iloczyn skalarny dwóch wektorów można zdefiniować jako iloczyn długości wektorów oraz kąta pomiędzy nimi:

$a \circ b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem iloczynu skalarnego jest praca wykonana przez siłę, która powoduje przemieszczenie.

Załóżmy, że na ciało działa siła o wektorze:

$F = [3 N, 2 N, 6 N]$

W wyniku działania tej siły ciało przemieściło się o wektor:

$r = [2 m, 1 m, - 0.5 m]$

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało przedstawiamy zależnością:

$W = F \circ r$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez ciało,

$F$ - siła działająca na ciało powodująca jego przesunięcie,

$r$ - wektor przesunięcia ciała, na które działa siła.

Widzimy, że praca jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły oraz wektora przemieszczenia. Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny otrzymujemy:

$W = F_{x} \cdot r_{x} + F_{y} \cdot r_{y} + F_{z} \cdot r_{z}$

$W = 3 N \cdot 2 m + 2 N \cdot 1 m + 6 N \cdot (- 0, 5 m) =$

$= 6 J + 2 J - 3 J =$

$= 8 J - 3 J = 5 J$

Zatem siła przemieszczając ciało o wektor $r$ wykonała pracę równą 5 J.

Kolejnym możliwym działaniem na wektorach jest iloczyn wektorowy.

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów jest nowy wektor:

$a \times b = c$

Załóżmy, że mamy dwa wektory:

$a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}] oraz b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$

Iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów jest dany wzorem:

$a \times b = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Zatem nowy wektor zdefiniowany przez iloczyn wektorowy dwóch wektorów $a$ oraz $b$ zdefiniowany jest wzorem:

$c = [c_{x}, c_{y}, c_{z}] = [a_{y} \cdot b_{z} - a_{z} \cdot b_{x}, a_{z} \cdot b_{x} - a_{x} \cdot b_{z}, a_{x} \cdot b_{y} - a_{y} \cdot b_{x}]$

Długość powstałego wektora $c$ możemy opisać wzorem:

$∣ c ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin α$

gdzie:

$a, b$ - wektory,

$∣ a ∣, ∣ b ∣$ - długości wektorów,

$α$ - kąt pomiędzy wektorami.

Przykładem wielkości fizycznej, która wynika z wykorzystania iloczynu wektorowego dwóch innych wielkości fizycznych w fizyce jest moment siły.

$M = r \times F$

gdzie:

$M$ - wektor momentu siły,

$r$ - wektor położenia (nazywany również ramieniem siły),

$F$ - wektor siły.

Wartość momentu siły będzie miała postać:

$M = r F sin α$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły,

$r$ - długość ramienia siły,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$α$ - kąt pomiędzy ramieniem siły, a wektorem siły,

Mateusz Bajda

Nauczyciel fizyki