TREŚĆ

Zdanie 4

Sprężynę o współczynniku $k=100\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ zamocowano jednym końcem do pionowej ściany. Na drugim końcu sprężyny przymocowano klocek o masie $m_k=150\mathrm{g}$. Sprężyna początkowo pozostawała nierozciągnięta.

W kierunku klocka wystrzelono poziomo kulkę z plasteliny o masie $m_p=50\mathrm{g}$ (zobacz rysunek 1.). Wartość prędkości plastelinowej kulki przed uderzeniem w klocek oznaczymy jako $v_{przed}$. W wyniku zderzenia plastelina przykleiła się do klocka. Wartość prędkości, jaką uzyskał klocek (z przyklejoną do niego plastelinową kulką) bezpośrednio po zderzeniu, oznaczymy jako $v_{po}$ (zobacz rysunek 2.).

Wskutek tego zderzenia układ (sprężyna - klocek z przyklejoną kulką) został wprawiony w drgania o amplitudzie $A$ i częstotliwości $f$ (zobacz rysunki 3.-4.).

Przyjmij model zjawiska, w którym:

• pomijamy masę sprężyny,
• zakładamy, że pomiędzy klockiem a podłożem nie występuje tarcie,
• układ wykonuje drgania harmoniczne,
• pomijamy czas zderzenia kulki z klockiem.

 

Zadanie 4.2

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Amplitudę drgań układu można obliczyć ze wzoru:

A. $A=\frac{v_{po}}{f}$         B. $A=\frac{v_{po}}{2\pi f}$          C. $A=\frac{v_{przed}}{f}$         D. $A=\frac{v_{przed}}{2\pi f}$

---

ROZWIĄZANIE:

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzoru na amplitudę drgań. Skorzystamy z równań ruchu harmonicznego:

RÓWNANIA RUCHU HARMONICZNEGO $x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$  oraz: $x_{\max }=A$ $v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+{\phi }_0\right)$  oraz: $v_{\max }=A\omega$ $a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)$oraz: $a_{\max }=A{\omega }^2$ gdzie:  $x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,  $v$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie,  $a$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie, $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   ${\phi }_0$ - faza ruchu, $x_{\max }$ - wartość maksymalnego wychylenia, $v_{\max }$ - wartość prędkości maksymalnej, $a_{\max }$ - wartość przyspieszenia maksymalnego.

W ruchu drgającym maksymalną wartość prędkości ciała mamy, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością na wartość prędkości od czasu w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli 1, a wartość maksymalnej prędkości ma wówczas postać:

$v_{\text{max}}=A\omega$  

Zgodnie z treścią zadania (oraz z rysunkiem 2) układ sprężyna - klocek z przyklejoną do niego plastelinową kulką porusza się z maksymalną prędkością o wartości:

$v_{\max }=v_{po}$  

Do wyznaczenia częstości kołowej możemy skorzystać z wzorów dla ruchu jednostajnego po okręgu:

ZWIĄZKI W RUCHU JEDNOSTAJNYM PO OKRĘGU $\omega =\frac{2\pi }{T}$ oraz: $T=\frac{1}{f}$ gdzie: $\omega$ - wartość prędkości kątowej, $\pi$ - liczba pi, $T$ - okres ruchu, $f$ - częstotliwość ruchu.

Częstość kołową drgań zapiszemy zatem jako:

$\omega =2\pi f$  

Korzystając z powyższych zależności mamy:

$v_{\text{max}}=A\omega$  

$v_{po}=A2\pi f\text{| : }2\pi f$  

$A=\frac{v_{po}}{2\pi f}$  

 Odpowiedź: 

Amplitudę drgań można obliczyć ze wzoru B. $A=\frac{v_{po}}{2\pi f}$.