Dane:

$f=8\cdot {10}^{14}\text{Hz}$  

$E_k=1,5\text{eV}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$,

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\text{eV}=1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}$,

▶ stała Plancka: $h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$.

Szukane:

${\lambda }_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnej długości fali promieniowania, które może wybić elektron z opisywanego metalu.  Skorzystajmy z równania opisującego zjawisko fotoelektryczne.

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne polega na tym, że pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego elektrony wybijane są z powierzchni metalu. Zjawisko to opisuje równanie: $E_f=W+E_k$ gdzie: $E_f$ - energia padających na metal fotonów,  $W$ - praca wyjścia (energia niezbędna do uwolnienia elektronu z metalu),  $E_k$ - energia kinetyczna uzyskana przez wybity elektron.

Skorzystajmy ze wzoru na energię fotonu:

ENERGIA FOTONU Energię fotonu o podanej częstotliwości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $E_f=hf$ gdzie: $E_f$ - energia fotonu, $h$ - stała Plancka, $f$ - częstotliwość promieniowania.

Zatem równość dla padającego światła z treści zadania przyjmuję postać:

$hf=W+E_k$  

Wykorzystajmy wzór łączący energię fotonu i długość fali.

ENERGIA FOTONU Energię fotonu o podanej długości fali możemy obliczyć za pomocą wzoru: $E_f=\frac{hc}{\lambda }$ gdzie: $E_f$ - energia fotonu, $h$ - stała Plancka, $c$ - wartość prędkości światła, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania.

Zatem maksymalna możliwa długość fali padającego promieniowania jest, wtedy kiedy energia fotonu jest najmniejsza. Jednakże nadal chcemy, aby padający foton (który będzie miał maksymalną długość fali) wybijał elektron. Zatem foton o największej długości fali musi mieć energię równą pracy wyjścia dla danego materiału:

$E_f=W$  

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=W$  

Z opisanego w treści zadania padającego fotonu jesteśmy w stanie wyznaczyć wzór na pracę wyjścia:

$hf=W+E_{\text{k}}|-E_k$  

$W=hf-E_k$  

Zatem mamy równość na maksymalną długość fali:

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=W$  

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=hf-E_k|:hc$  

$\frac{1}{{\lambda }_{\max }}=\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}|\cdot {\lambda }_{\max }$  

$1=\left(\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}\right){\lambda }_{\max }|:\left(\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}\right)$  

${\lambda }_{\max }=\frac{1}{\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}}$  

${\lambda }_{\max }=\frac{1}{\frac{1}{c}\left(f-\frac{E_k}{h}\right)}$  

${\lambda }_{\max }=\frac{c}{f-\frac{E_k}{h}}$  

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

${\lambda }_{\max }=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\text{Hz}-\frac{1,5\text{eV}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{1,5\cdot 1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{2,403\cdot {10}^{-19}\text{J}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{2,403}{6,626}\cdot \frac{{10}^{-19}}{{10}^{-34}}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$\approx \frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-0,363\cdot {10}^{15}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-3,63\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{4,37\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3}{4,37}\cdot \frac{{10}^8}{{10}^{14}}\frac{\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{\text{s}}}=$  

$\approx 0,684989\cdot {10}^{-6}\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}\approx 685\cdot {10}^{-9}\text{m}=$  

$=685\text{nm}$

Odpowiedź: Maksymalna długość fali wynosi około $685\text{nm}$.