Rozgrzana stalowa kulka o promieniu...- Zadanie 2: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$r = 2 cm = 0, 02 m$

$m = 260 g = 0, 26 kg$

$T_{l} = 0^{\circ} C = (0 + 273) K = 273 K$

$d = 3 cm = 0, 03 m$

$c_{s} = 460 \frac{J}{kg \cdot K}$

$c_{t} = 335000 \frac{J}{kg}$

$d_{l} = 0, 9 \frac{g}{cm ^{3}} = 900 \frac{kg}{m ^{3}}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $π = 3, 14$ .

Szukane:

$T_{p} = ?$

Rozwiązanie:

Kula, przechodząc przez taflę lodu musi wytopić w nim walec o wymiarach:

$h = d$

gdzie:

$h$ - wysokość walca,

$d$ - grubość tafli lodu.

$S = π r^{2}$

gdzie:

$S$ - pole podstawy walca,

$r$ - promień walca równy promieniowi kuli.

Zatem objętość takiego walca jest dana wzorem:

$V_{walec} = h S$

gdzie:

$V_{walec}$ - objętość walca.

$V_{walec} = d π r^{2}$

Korzystając z definicji gęstości:

$d = \frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość,

$m$ - masa,

$V$ - objętość.

Mamy, że masa takiego walca z lodu, które roztopi kula jest dana wzorem:

$d_{l} = \frac{m _{walec}}{V _{walec}} | \cdot V_{walec}$

$m_{walec} = d_{l} d π r^{2}$

Chcąc stopić taki walec nagrzana kula musi oddać do lodu ciepło $Q_{l}$ . Ilość tego ciepła musi być równa ilości ciepła jakie jest potrzebne do stopienia $Q_{t}$ masy lodu równej masie walca. Zapiszemy to jako:

$Q_{l} \geq Q_{t}$

gdzie:

$Q_{l}$ - ciepło oddane do lodu,

$Q_{t}$ - ciepło potrzebne do stopienia lodu.

Ilość ciepła potrzebne do stopienia danej masy lodu opisuje wzór:

$Q_{t} = m_{l} c_{t}$

gdzie:

$m_{l}$ - masa lodu,

$c_{t}$ - ciepło topnienia lodu.

Natomiast ilość ciepła oddane przez kulę do stopienia lodu opisuje wzór:

$Q_{l} = m c_{s} Δ T$

$Q_{l} = m c_{s} (T_{p} - T_{l})$

gdzie:

$m$ - masa kulki,

$c_{s}$ - ciepło właściwe stali,

$T_{p}$ - temperatura początkowa kuli,

$T_{0}$ - temperatura lodu.

Zapisujemy zatem:

$Q_{l} \geq Q_{t}$

$m c_{s} (T_{p} - T_{l}) \geq m_{l} c_{t} | : m c_{s}$

$T_{p} - T_{l} \geq \frac{m _{l} c _{t}}{m c _{s}} | + T_{l}$

$T_{p} \geq \frac{m _{l} c _{t}}{m c _{s}} + T_{l}$

Wstawiamy wzór na masę lodu (czyli stopionego lodu w postaci walca):

$T_{p} \geq \frac{d _{l} d π r ^{2} c _{t}}{m c _{s}} + T_{l}$

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$T_{p} \geq \frac{900 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 0 , 03 m \cdot 3 , 14 \cdot ( 0 , 02 m ) ^{2} \cdot 335 000 \frac{J}{kg}}{0 , 26 kg \cdot 460 \frac{J}{kg \cdot K}} + 273 K$

$T_{p} \geq \frac{900 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 0 , 03 m \cdot 3 , 14 \cdot 0 , 0004 m ^{2} \cdot 335 000 \frac{J}{kg}}{0 , 26 \cdot 460 \frac{J}{K}} + 273 K$