Dane:

Z treści zadania 3 mamy podane:

$Q_I=3\text{kJ}$  

Szukane:

$Q_{II}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Ilość ciepła pobranego w przemianie izochorycznej jest dane wyrażeniem:

$Q=C_{V}n\Delta T$  

gdzie:

$Q$ - ciepło pobrane,

$C_V$  - ciepło molowe przy stałej objętości,

$n$  - liczba moli,

$\Delta T$  - zmiana temperatury.

Zatem mamy odpowiednio:

▶ silnik I

$Q_I=C_{V}n\Delta T_I$  

▶ silnik II

$Q_{II}=C_{V}n\Delta T_{II}$  

 

Zwróćmy uwagę, że nie mamy podanej zmiany temperatury jednakże mamy podane w treści zadania wykresy ciśnienia zależne od objętości. Możemy wyznaczyć zmianę temperatury korzystając z równania gazu doskonałego:

$pV=nRT$  

gdzie:

$p$  - ciśnienie,

$V$  - objętość,

$R$  - stała gazowa,

$T$  - temperatura.

Potrzebujemy wyznaczyć ilość ciepła w przemianie izochorycznej zatem objętość jest stała (odpowiednio na wykresach będą to przemiany dla których objętość jest stała), ale ciśnienie jak i również temperatura może się zmieniać. Możemy więc zapisać:

$\Delta pV=nR\Delta T$  

Zatem:

$\Delta pV=nR\Delta T\text{| : }nR$  

$\Delta T=\frac{\Delta pV}{nR}$  

Korzystając z wykresów porównujemy ze sobą te same przemiany (dla dwóch różnych silników) dla których stała jest ta sama objętość (skupmy się na przemianach izochorycznych dla objętości $V_1$ ). Mamy więc z wykresu:

▶ silnik I

$\Delta p_I=2p_1-p_1$  

$\Delta p_I=p_1$  

Zatem:

$\Delta T_I=\frac{\Delta p_I{V}_1}{nR}$  

$\Delta T_I=\frac{p_1{V}_1}{nR}$  

▶ silnik II

$\Delta p_{II}=3p_1-p_1$  

$\Delta p_{II}=2p_1$  

Zatem:

$\Delta T_{II}=\frac{\Delta p_{II}{V}_1}{nR}$  

$\Delta T_{II}=\frac{2p_1{V}_1}{nR}$  

 

Wracając do wyznaczenia ilości ciepła  $Q_{II}$   wyliczamy stosunek względem ciepła  $Q_I$  :

$\frac{Q_{II}}{Q_I}=\frac{C_{V}n\Delta T_{II}}{C_{V}n\Delta T_I}$  

Wstawiamy wyznaczone zmiany temperatur:

$\frac{Q_{II}}{Q_I}=\frac{\cancel{C_{V}n}\frac{2p_1{V}_1}{nR}}{\cancel{C_{V}n}\frac{p_1{V}_1}{nR}}$  

$\frac{Q_{II}}{Q_I}=\frac{\frac{2p_1{V}_1}{nR}}{\frac{p_1{V}_1}{nR}}$  

$\frac{Q_{II}}{Q_I}=\frac{2\cancel{\frac{p_1{V}_1}{nR}}}{\cancel{\frac{p_1{V}_1}{nR}}}$  

$\frac{Q_{II}}{Q_I}=2\text{|}\cdot Q_I$  

$Q_{II}=2Q_I$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$Q_{II}=2\cdot 3\text{kJ}=6\text{kJ}$  

Odpowiedź: W przemianie izochorycznej przez silnik II zostało pobrane 6 kJ ciepła.