Dane:

${\lambda }_1=250\text{nm}=250\cdot {10}^{-9}\text{m}=2,5\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

${\lambda }_2=260\text{nm}=260\cdot {10}^{-9}\text{m}=2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$v_2=0,25\cdot v_1\Rightarrow v_2=\frac{1}{4}\cdot v_1$  

Z tablic fizycznych odczytujemy, że:

$h=6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$  

$c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$m_e=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

Szukane:

$v_1=?$

$v_2=?$

$W=?$

Rozwiązanie:   

a)

Korzystając z równania Einsteina wiemy, że:

$h\cdot \nu =W+E_k$  

$h-\text{stała Plancka}$

$\nu -\text{częstotliwosˊcˊ promieniowania}$   

$W-\text{praca wyjsˊcia}$  

$E_k-\text{maksymalna energia kinetyczna wybijanych elektronoˊw}$  

 

Korzystając ze wzoru na długość fali wiemy, że jej częstotliwość $\nu$   promieniowania możemy opisać wzorem:

$\nu =\frac{c}{\lambda }$  

$c-\text{prędkosˊcˊ sˊwiatła}$

$\lambda -\text{długosˊcˊ fali}$   

 

Wówczas otrzymujemy, że równanie Einsteina przyjmie postać:

$h\cdot \nu =W+E_k$  

$h\cdot \frac{c}{\lambda }=W+E_k$  

 

Wyznaczmy wartość pracy wyjścia:

$W+E_k=h\cdot \frac{c}{\lambda }\mid -E_k$  

$W=h\cdot \frac{c}{\lambda }-E_k$  

 

Energię kinetyczną elektronu możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m_e\cdot v^2}{2}$

$m_e-\text{masa elektronu}$  

$v-\text{szybkosˊcˊ elektronu}$  

 

Wówczas otrzymujemy, że praca wyjścia dla pierwszej długości fali wynosi:

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-E_{k1}$  

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

Natomiast dla drugiej długości fali wynosi:

$W_2=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-E_{k2}$  

$W_2=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}$  

 

Praca wyjścia elektronów z metalu dla każdej długości fali jest taka sama. Oznacza to, że otrzymujemy równanie, z którego wyznaczymy prędkość fotoelektronu dla pierwszej długości fali:

$W_1=W_2$

$h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}\mid -h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}+\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}$  

$-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}=-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}+h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot {\left(\frac{1}{4}\cdot v_1\right)}^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{\frac{1}{16}\cdot m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot c\cdot \left(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2}\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{\frac{1}{16}\cdot m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot c\cdot \left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{32}=h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid \cdot 32$  

$16\cdot m_e\cdot v_1^2-m_e\cdot v_1^2=32\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$15\cdot m_e\cdot v_1^2=32\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid :\left(15\cdot m_e\right)$  

$v_1^2=\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid \sqrt{}$  

$v_1=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}$  

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_1=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}\cdot \frac{2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}-2,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}{2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}\text{m}}}=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{19,89\cdot {10}^{-26}\text{J}\cdot \text{m}}{9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}\cdot \frac{0,1\cdot {10}^{-7}\text{m}}{6,5\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}}\approx$  

$\approx \sqrt{2,133\cdot 2,183\cdot {10}^5\text{J}\cdot \frac{\text{m}}{\text{kg}}\cdot 0,0154\cdot {10}^7\frac{1}{\text{m}}}=\sqrt{2,133\cdot 2,184\cdot {10}^5\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{\text{m}}{\text{kg}}\cdot 0,0154\cdot {10}^7\frac{1}{\text{m}}}\approx \sqrt{0,07174\cdot {10}^{12}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{7,174\cdot {10}^{10}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 2,7\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Wówczas prędkość fotoelektronu w przypadku drugiej długości fali wynosi:

$v_2=0,25\cdot v_1$  

$v_2=0,25\cdot 2,7\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}=0,675\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,7\cdot {10}^5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

 

b)  

Korzystamy z równania Einsteina dla pierwszej długości fali:

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

Wiemy, że:

$W=W_1=W_2$  

Wówczas pracę wyjścia możemy opisać zależnością:

$W=W_1$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot {\left(\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}\right)}^2}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot \frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-m_e\cdot \frac{16}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{16}{15}\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{16\cdot h\cdot c\cdot \left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right)}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{15\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}-\frac{16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2-16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{15\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2-16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2+16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1-h\cdot c\cdot {\lambda }_2}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{h\cdot c\cdot \left(16\cdot {\lambda }_1-{\lambda }_2\right)}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=\frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(16\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}\text{m}-2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}{15\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}}=\frac{19,89\cdot {10}^{-26}\text{J}\cdot \text{m}\cdot \left(40\cdot {10}^{-7}\text{m}-2,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}{97,5\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}=$   

$=\frac{19,89\cdot {10}^{-26}\text{J}\cdot \text{m}\cdot 37,4\cdot {10}^{-7}\text{m}}{97,5\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}=\frac{743,886\cdot {10}^{-33}\text{J}\cdot {\text{m}}^2}{97,5\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}\approx 7,6296\cdot {10}^{-19}\text{J}\approx 7,63\cdot {10}^{-19}\text{J}$    

Wiemy, że:

$1\text{J}=6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$W=7,63\cdot {10}^{-19}\text{J}=7,63\cdot {10}^{-19}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=47,6112\cdot {10}^{-1}\text{eV}\approx 4,76\text{eV}$