Dane:

$I=1370\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}$  

$d=149,6\text{mln}\text{km}=149,6\cdot 10^6\text{km}=$

$=149,6\cdot 10^9\text{m}=1,496\cdot 10^{11}\text{m}$

$R_Z=6370\text{km}=6,37\cdot 10^3\text{km}=6,37\cdot 10^6\text{m}$ 

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$P_{\text{S}}=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest znalezienie całkowitej mocy promieniowania emitowanego przez Słońce.

NATĘŻENIE FALI KULISTEJ Dla punktowego źródła fali natężenie emitowanej fali kulistej obliczymy z zależności: $I=\frac{P}{4\pi r^2}$ gdzie: $I$ - natężenie fali kulistej, $P$ - moc źródła fali, $\pi$ - liczba π (pi), $r$ - odległość od źródła fali.

W przestrzeni kosmicznej promieniowanie słoneczne rozchodzi się równomiernie we wszystkich kierunkach, a czoło fali elektromagnetycznej jest sferą, której promień odpowiada odległości Ziemia - Słońce. Wówczas odległość od źródła fali równa jest odległości Ziemia - Słońce, a wzór na natężenie fali kulistej będzie miał postać:

$I=\frac{P_S}{4\pi d^2}$

gdzie:

$P_S$ - moc promieniowana emitowanego przez Słońce, 

$d$ - odległość Ziemia - Słońce. 

Wówczas wypromieniowana przez Słońce całkowita moc w odległości Ziemi od Słońca będzie miała postać:

$\frac{P_S}{4\pi d^2}=I|\cdot 4\pi d^2$

$P_s=4\pi d^{2}I$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_S=4\cdot 3,14\cdot {\left(1,496\cdot 10^{11}\text{m}\right)}^2\cdot 1370\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}=$

$=4\cdot 3,14\cdot 2,238016\cdot 10^{22}\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 1370\frac{\text{W}}{\cancel{{\text{m}}^2}}=$

$=3,85099889152\cdot 10^{26}\text{W}\approx 3,85\cdot 10^{26}\text{W}$

Odpowiedź: Całkowita moc promieniowania wynosi około $3,85\cdot 10^{26}\text{W}$.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$P_{\text{Z}}=?$  

$k=?$  

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości mocy promieniowania dochodzącego ze Słońca do naszej planety oraz podanie w procentach jaka to jest część mocy całkowitego promieniowania.

NATĘŻENIE FALI W ogólnym przypadku natężenie fali obliczymy z zależności: $I=\frac{P}{S}$ gdzie: $I$ - natężenie fali, $P$ - moc źródła fali, $S$ - powierzchnia prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali.

Do naszej planety dociera promieniowanie. Wiemy, że rozchodzi się ono równomiernie we wszystkich kierunkach, czyli możemy przyjąć że promieniowanie, które trafi na Ziemię na powierzchnię odpowiadającej powierzchni koła będącego przekrojem Ziemi w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku padania. Z tego wynika, że powierzchnia prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali jest powierzchnią koła o promieniu równym promieniowi Ziemi:

$S_{\text{Z}}=\pi R_Z^2$  

gdzie:

$S_Z$ - powierzchnia padania fali na Ziemię, 

$R_Z$ - promień Ziemi.

Wówczas moc promieniowania padającego na Ziemię wynosi:

$\frac{P_Z}{S_Z}=I|\cdot S_Z$

$P_Z=S_{Z}I$

$P_Z=\pi R_Z^{2}I$

gdzie:

$P_Z$ - moc promieniowania dochodzącego ze Słońca do naszej planety.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_Z=3,14\cdot {\left(6,37\cdot 10^6\text{m}\right)}^2\cdot 1370\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}=$

$=3,14\cdot 40,5769\cdot 10^{12}\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 1370\frac{\text{W}}{\cancel{{\text{m}}^2}}=$

$=174553,70842\cdot 10^{12}\text{W}=$

$=1,7455370842\cdot 10^{17}\text{W}\approx 1,75\cdot 10^{17}\text{W}$

Obliczmy jaka to część mocy całkowitego promieniowania Słońca. Wynik należy podać w procentach, dlatego zapisujemy iloraz:

$k=\frac{P_Z}{P_S}\cdot 100\%$

gdzie:

$k$ - część w procentach, jaką w mocy całkowitego promieniowania stanowi moc dochodząca do Ziemi ze Słońca.

Wówczas:

$k=\frac{P_Z}{P_S}\cdot 100\%$

$k=\frac{\cancel{\pi }{R}_Z^2\cancel{I}}{4\cancel{\pi }{d}^2\cancel{I}}\cdot 100\%$

$k=\frac{R_Z^2}{4d^2}\cdot 100\%$

$k=\frac{R_Z^2}{{\left(2d\right)}^2}\cdot 100\%$

$k={\left(\frac{R_Z}{2d}\right)}^2\cdot 100\%$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k={\left(\frac{6,37\cdot 10^6\cancel{\text{m}}}{2\cdot 1,496\cdot 10^{11}\cancel{\text{m}}}\right)}^2\cdot 100\%=$

$={\left(\frac{6,37\cdot 10^6}{2,992\cdot 10^{11}}\right)}^2\cdot 100\%\approx$

$\approx {\left(2,129\cdot 10^{6-11}\right)}^2\cdot 100\%=$

$={\left(2,129\cdot 10^{-5}\right)}^2\cdot 100\%=$

$=4,532641\cdot 10^{-10}\cdot 100\%\approx$

$\approx 4,5\cdot 10^{-10}\cdot 100\%=$

$=0,00000000045\cdot 100\%=$

$=0,000000045\%$

Odpowiedź: Moc dochodząca ze Słońca do Ziemi wynosi około $1,75\cdot 10^{17}\text{W}$. Stanowi to około $0,000000045\%$ całkowitej mocy docierającej ze Słońca.