Dane:

Potrzebne stałe fizyczne:

$h=6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$

$c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$m_e=9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

Szukane:

${\lambda }_{\text{max}}=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnej długości fali odpowiadającej fotonowi, który może spowodować kreację pary elektron - pozyton.

Zacznijmy od wyjaśnienia, co to znaczy kreacja pary cząstek:

To sytuacja, w której foton przekształca się w dwie cząstki:

• elektron (masa spoczynkowa $m_e$$m_e$),

• pozyton (czyli antyelektron, o tej samej masie).

Aby mogły powstać, foton musi mieć co najmniej tyle energii, ile wynosi suma energii spoczynkowej tych dwóch cząstek.

Zatem energia fotonu zostaje zamieniona na energię elektronu i pozytonu.

Energię fotonu o danej długości fali możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$

gdzie:

$h$ - stała Plancka,

$c$ - wartość prędkości światła,

$\lambda$ - długość fali promieniowania.

Energia elektronu $E_{e-}$   będzie sumą jego energii spoczynkowej i kinetycznej:

$E_{e-}=E_s+E_{ke-}$  

Energia pozytonu  $E_{e+}$   również będzie sumą jego energii spoczynkowej i kinetycznej:

$E_{e+}=E_s+E_{ke+}$  

Energia spoczynkowa elektronu i pozytonu jest taka sama, ponieważ cząstki te mają taką sama masę.

Energię spoczynkową cząstki przedstawiamy wzorem:

$E=m{c}^2$

gdzie:

$m$ - masa cząstki,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Dla elektronu i pozytonu po zaindeksowaniu wzór przyjmie postać:

$E_s=m_e{c}^2\text{,}$

Podstawiamy powyższy wzór do wzoru na energie cząstek:

$E_{e-}=m_e{c}^2+E_{ke-}$  

$E_{e+}=m_e{c}^2+E_{ke+}$  

Pamiętając, że energia fotonu zostaje zamieniona na energię elektronu i pozytonu, zapisujemy równanie bilansu energetycznego.

$E_f=E_{e-}+E_{e+}$  

$E_f=m_e{c}^2+E_{ke-}+m_e{c}^2+E_{ke+}$  

$E_f=2m_e{c}^2+E_{ke-}+E_{ke+}$  

$\frac{hc}{\lambda }=2m_e{c}^2+E_{ke-}+E_{ke+}$  

Im większa długość fali, tym mniejsza energia fotonu, z którego powstaje para elektron-pozyton. Przy minimalnej energii fotonu (maksymalnej długości fali) dla jakiej zajdzie zjawisko kreacji, energii fotonu wystarczy jedynie na energie spoczynkowe elektronu i pozytonu. Energie kinetyczne powstałych cząstek będą zatem równe zero.

$\frac{hc}{{\lambda }_{\text{max}}}=2m_e{c}^2+0+0$  

$\frac{hc}{{\lambda }_{\text{max}}}=2m_e{c}^2$  

$\frac{h}{{\lambda }_{\text{max}}}=2m_{e}c$  

Wyznaczmy szukaną maksymalną długość fali.

$\frac{h}{{\lambda }_{\text{max}}}=2m_{e}c|\cdot {\lambda }_{\text{max}}$

$h={\lambda }_{\text{max}}\cdot 2m_{e}c|:2m_{e}c$  

Zamieniamy stronami:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{h}{2m_{e}c}$  

Podstawiamy i obliczamy:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$  

     $=\frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \text{s}}{54,6\cdot {10}^{-23}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}\approx$

     $\approx 0,1214\cdot {10}^{-11}\text{m}=$  

     $=1,214\cdot {10}^{-12}\text{m}=1,2\text{pm}$

Odpowiedź: Maksymalna długość fali odpowiadająca fotonowi jest w przybliżeniu równa $1,2\text{pm}$.