Dane:

$T_{\frac{1}{2}}=8\text{dni}$

$m_0=0,14\text{g}$   

$\mathbf{a})$

Dane:

$\frac{A}{A_0}=\frac{1}{32}$

Szukane:

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie czasu, po którym aktywność promieniotwórcza próbki spadnie $32$ razy. Zmianę aktywności promieniotwórczej próbki w zależności od czasu jaki upłynął możemy przedstawić wzorem:

$A=A_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

gdzie: 

$A$ - aktywność promieniotwórcza źródła po zadanym czasie,

$A_0$ - początkowa aktywność promieniotwórcza źródła,

$T_{\frac{1}{2}}$ - czas połowicznego rozpadu,

$t$ - czas jaki upłynął.

Stąd:

$\frac{A}{A_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

Aktywność ma zmaleć 32 razy:

$\frac{1}{32}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$  

Przekształcamy równanie:

$\frac{1}{2^5}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

Porównujemy wykładniki potęg:

$5=\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}$  

${t=5T}_{\frac{1}{2}}$

$t=5\cdot 8\text{dni}=40\text{dni}$

Odpowiedź: Po upływie $40\mathrm{dni}$aktywność preparatu promieniotwórczego spada $32$ razy.  

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Wiemy, że po czasie połowicznego rozpadu (8 dni) masa izotopu promieniotwórczego spadnie o połowę. Czyli z $0,14\mathrm{g}$ zmniejszy się do $0,07\mathrm{g}$. 

 

Dalej po kolejnych 8 dniach, masa izotopu zmaleje o połowę do $0,035\mathrm{g}$. 

I analogicznie w następnych dniach.

Aż do całkowitego trwania rozpadów wynoszącego 32 dni.

 Odpowiedź: 

Szkicujemy wykres zależności $m\left(t\right)$  .

$\mathbf{c})$

 Uzasadnienie: 

Korzystając z wykonanego wykresu odczytujemy masę izotopu po czasie równym 20 dni.

 Odpowiedź: 

Masa preparatu promieniotwórczego po 20 dniach wynosi około $0,025\mathrm{g}$.