TREŚĆ: 

Zadanie 7.

Podczas misji badawczej o nazwie STEREO dwie sondy: A i B poruszają się po orbitach dookoła Słońca jedynie pod wpływem jego grawitacji. Przyjmij, że sonda A porusza się po orbicie kołowej o promieniu $r_A=0,962\mathrm{au}$ (jednostki astronomicznej), a sonda B porusza się po orbicie kołowej o promieniu $r_B=1,043\mathrm{au}$. Okres obiegu sondy A dookoła Słońca wynosi $T_A=344$ dób ziemskich. Obie sondy oraz Ziemia obiegają Słońce w tę samą stronę, a ich orbity leżą w jednej płaszczyźnie.

W pewnej chwili $t_0$ sondy A i B, Ziemia (Z) oraz Słońce (S) ułożyły się wzdłuż jednej prostej (zobacz rysunek 1.).

 

Zadanie 7.2.

Oblicz miarę kąta $\alpha$ między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi po roku ziemskim od chwili $t_0$ (zobacz rysunek 2.).

 

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$T_Z=365\mathrm{d}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{b}$

$T_A=344\mathrm{doby}$

Szukane:

$\alpha =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie kąta między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi po upływie roku od chwili, gdy znajdowały się one w jednej linii.  W czasie roku ziemskiego Ziemia zakreśli pełny okrąg, natomiast sonda A zakreśli pełny okrąg i dodatkowo jeszcze obróci się o kąt $\alpha$ .

W ruchu po okręgu spełnione są zależności:

ZWIĄZKI W RUCHU JEDNOSTAJNYM PO OKRĘGU $\omega =\frac{2\pi }{T}$ oraz: $T=\frac{1}{f}$ gdzie: $\omega$ - wartość prędkości kątowej, $\pi$ - liczba pi, $T$ - okres ruchu, $f$ - częstotliwość ruchu.

Szybkość kątową, z jaką porusza się sonda możemy zatem przedstawić za pomocą wzoru:

${\omega }_A=\frac{2\pi }{T_A}$  

gdzie:

${\omega }_A$ - wartość prędkości kątowej sondy A,

$T_A$ - okres ruchu sondy A.

Natomiast czas jej ruchu w czasie zakreślania kąta $\alpha$  będzie różnicą pomiędzy okresem obrotu Ziemi, a okresem obrotu sondy:

$t=T_Z-T_A$  

gdzie:

$t$ - czas ruchu sondy A w czasie zakreślania szukanego kąta,

$T_Z$ - okres ruchu Ziemi wokół Słońca.

Zgodnie z zależnością wynikającą z ruchu jednostajnego po okręgu możemy zapisać, że kąt $\alpha$wynosi:

$\alpha =\omega t$  

Wówczas:

$\alpha =\frac{2\pi }{T_A}\left(T_Z-T_A\right)$  

$\alpha =\frac{T_Z-T_A}{T_A}\cdot 2\pi$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\alpha =\frac{365\text{doˊb}-344\text{doby}}{344\text{doby}}\cdot 2\pi \approx 0,061\cdot 2\pi =0,122\pi$  

Wyraźmy ten kąt z mierze kątowej:

$\alpha \frac{}{}0,122\pi$   

${180}^{\circ }\frac{}{}\pi$   

Wówczas:

$\alpha =\frac{{180}^{\circ }\cdot 0,122\pi }{\pi }={21,96}^{\circ }\approx {22}^{\circ }$

Odpowiedź: Kąt $\alpha$ między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi ma miarę około $11^{\circ }$.