Dane:

$B=100\text{mT}=0,1\text{T}$

$l=1\text{m}$

$n=20$

$t=5\text{s}$

Szukane:

$U=?$

Rozwiązanie:

Pręt obraca się w polu magnetycznym. Pręt posiada swobodne elektrony, które wraz z nim poruszają się w polu magnetycznym. Na poruszające się ładunki elektryczne w polu magnetycznym działa siła Lorentza.

     

 

$v-\text{szybkosˊcˊ liniowa z jaką poruszają się elektrony}$  

$F_L-\text{siła Lorentza}$  

Zwrot siły Lorentza wyznaczamy korzystając z reguły lewej dłoni. Siła ta jest zwrócona do osi obrotu pręta - ściąga elektrony z końców pręta do jego środka.

 

Szybkość liniową $v$   elektronów wyrazimy jako:

$v=\frac{2\pi r}{T}$

$r-\text{odległosˊcˊ od osi obrotu}$

$T-\text{okres obrotu}$

$T=\frac{t}{n}$   

$n-\text{ilosˊcˊ obrotoˊw}$

$t-\text{czas obrotoˊw}$

Stąd:

$v=\frac{2\pi r}{\frac{t}{n}}=\frac{2\pi rn}{t}$    

 

Wartość siły Lorentza wyznaczamy jako:

$F_L=qvB$

$q=e-\text{wartosˊcˊ ładunku cząstki}$   

$v-\text{szybkosˊcˊ cząstki}$

$B-\text{indukcja pola magnetycznego}$   

 

Dla elektronów:

$F_L=evB$

$F_L=e\cdot \frac{2\pi rn}{t}\cdot B$   

$F_L=\frac{2\pi neB}{t}\cdot r$  

Wartość siły Lorentza nie jest stała - zależy od odległości $r$   od osi obrotu pręta. 

Maksymalna siła Lorentza (na końcu pręta):

$r=\frac{l}{2}\Rightarrow F_{L,\max }=\frac{2\pi neB}{t}\cdot \frac{l}{2}$  

$F_{L,\max }=\frac{\pi neBl}{t}$  

Minimalna siła Lorentza (w punkcie osi obrotu pręta):

$r=0\Rightarrow F_{L,\min }=\frac{2\pi neB}{t}\cdot 0$  

$F_{L,\min }=0$  

Siłą Lorentza zmienia się liniowo między końcem, a środkiem pręta - wyznaczy jej wartość średnią:

$F_{L,\acute{s}r}=\frac{F_{L,\max }+F_{L,\min }}{2}$  

$F_{L,\acute{s}r}=\frac{\frac{\pi neBl}{t}+0}{2}=\frac{\pi neBl}{2t}$  

 

Przemieszczanie się elektronów w pręcie spowoduje powstanie potencjałów dodatnich $V_1$   na końcach pręta i ujemnego $V_2$  na środku pręta.

 

W pewnym momencie nagromadzenie ładunków ujemnych (elektronów) na środku pręta będzie tak duże, że ich dalszy napływ do środka pręta zostanie zablokowany przez rosnące pole elektryczne. Odpychająca siła elektryczna $F_e$   zrównoważy średnią siłę Lorentza $F_{L,\acute{s}r}$   i dalszy ruch elektronów nie będzie możliwy. W pręcie ustali się pewna różnica potencjałów - napięcie $U$  .

$U=V_1-V_2$  

Natężenie $E$   pola elektrycznego w pręcie możemy wyrazić jako:

$E=\frac{U}{\frac{l}{2}}=\frac{2U}{l}$  

Siłę odpychającą elektryczną $F_e$   wyrazimy jako:

$F_e=e\cdot E=e\cdot \frac{2U}{l}=\frac{2Ue}{l}$  

 

Zatem:

$F_e=F_{L,\acute{s}r}$  

$\frac{2Ue}{l}=\frac{\pi neBl}{2t}$  

$\frac{2U}{l}=\frac{\pi nBl}{2t}$  

Wyznaczmy napięcie ustalone między środkiem, a końcem pręta:

$\frac{U}{l}=\frac{\pi nBl}{4t}$  

$U=\frac{\pi nB{l}^2}{4t}$  

$U=\frac{3,14\cdot 20\cdot 0,1\text{T}\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}{4\cdot 5\text{s}}=\frac{6,28\text{V}\cdot \text{s}}{20\text{s}}=0,314\text{V}$