Dane:

$r_1=15\cdot {10}^7\text{m}$  

$r_2=38\cdot {10}^7\text{m}$  

$M_Z=6\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

$M_K=7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}$  

$R=45\cdot {10}^7\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}$.

 

$4.1.$  

Szukane:

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=?$

Rozwiązanie:

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_1,m_2$ - masy oddziałujących ciał,

$r$ - odległość między środkami tych mas.

Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego wynosiła:

$F_{g1}=G\cdot \frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}$  

gdzie:

$F_{g1}$ - wartość siły przyciągania między Ziemią a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$M_K$ - masa Księżyca,

$r_1$ - odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca na początku istnienia Układu Słonecznego.

Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem obecnie wynosi:

$F_{g2}=G\cdot \frac{M_Z{M}_K}{r_2^2}$  

gdzie:

$F_{g2}$ - wartość siły przyciągania między Ziemią a Księżycem obecnie,

$r_1$ - odległość między środkiem Ziemi a środkiem Księżyca obecnie.

Obliczamy iloraz wartości siły na początku istnienia Układu Słonecznego i wartości siły przyciągania obecnie:

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{G\cdot \frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}}{G\cdot \frac{M_Z{M}_K}{r_2^2}}$  

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{\frac{1}{r_1^2}}{\frac{1}{r_2^2}}$  

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{1}{r_1^2}\cdot \frac{r_2^2}{1}$  

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$  

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^2$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$\frac{F_{g1}}{F_{g2}}={\left(\frac{38\cdot {10}^7\text{m}}{15\cdot {10}^7\text{m}}\right)}^2\approx 2,533^3\approx 6,4$

Powyższy wynik oznacza, że wartość siły przyciągania na początku istnienia Układu Słonecznego była około 6,4 razy większa niż obecnie.

Odpowiedź: Wartość siły przyciągania zmalała około 6,4 razy.

 

$4.2.$  

Szukane:

$T=?$

Rozwiązanie:

Siła odśrodkowa poruszającego się Księżyca po orbicie Ziemi będzie równoważyła siłę grawitacji pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_{od}$ - wartość siły odśrodkowej,

$m$ - masa ciała,

$r$ - promień okręgu,

$v$ - szybkość liniowa.

 Wówczas siła odśrodkowa działająca na Księżyc będzie miała postać:

$F_{od}=\frac{M_K{v}^2}{r_1}$  

gdzie:

$M_K$ - masa Księżyca,

$r_1$ - promień orbity Księżyca na początku istnienia Układu Słonecznego.

Wartość prędkości liniowej Księżyca możemy przedstawić wzorem:

$v=\omega r_1$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej Księżyca.

Szybkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres obiegu Księżyca wokół Ziemi na początku istnienia Układu Słonecznego.

W przypadku ruchu Księżyca wokół Ziemi, rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacji:

$F_{od}=F_{g1}$

gdzie:

$F_{g1}$ - wartość siły przyciągania między Ziemią a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego.

Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego wynosiła:

$F_{g1}=G\cdot \frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi.

Porównując wzory na wartości sił otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy okres obiegu Księżyca na początku istnienia Układu Słonecznego:

$F_{g1}=F_{od}$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=\frac{M_K{v}^2}{r_1}$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=\frac{M_K{\left(\omega r_1\right)}^2}{r_1}$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=\frac{M_K{\omega }^2{r}_1^2}{r_1}$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=M_K{\omega }^2{r}_1$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=M_K{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2{r}_1$  

$G\frac{M_Z{M}_K}{r_1^2}=M_K\frac{4{\pi }^2}{T^2}{r}_1\mid \cdot T_2{r}_1^2$  

$G{M}_Z{M}_K{T}^2=4{\pi }^2{M}_K{r}_1^3\mid :G{M}_Z{M}_K$  

$T^2=\frac{4{\pi }^2{M}_K{r}_1^3}{G{M}_Z{M}_K}$  

$T^2=\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{G{M}_Z}\mid \sqrt{}$  

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{G{M}_Z}}$  

$T=2\pi \sqrt{\frac{r_1^3}{G{M}_Z}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{\frac{{\left(15\cdot {10}^7\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 6\cdot {10}^{24}\text{kg}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{3375\cdot {10}^{21}{\text{m}}^3}{40,02\cdot {10}^{13}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}}=$  

$=6,28\cdot \sqrt{\frac{3375\cdot {10}^{21}{\text{m}}^3}{40,02\cdot {10}^{13}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}}=6,28\cdot \sqrt{\frac{3375\cdot {10}^{21}{\text{m}}^3}{40,02\cdot {10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}}\approx$  

$\approx 6,28\cdot \sqrt{84,33\cdot {10}^8{\text{s}}^2}\approx 6,28\cdot 9,183\cdot {10}^4\text{s}=57,66924\cdot {10}^4\text{s}=$  

$=576692,4\text{s}\approx 160,19\text{h}\approx 6,7\text{dnia}$

Odpowiedź: Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi na początku istnienia Układu Słonecznego wynosił około 6,7 dnia.

 

$4.3.$  

Szukane:

$\frac{a_2}{a_1}=?$

Rozwiązanie:

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać:

$a=\frac{F}{m}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia ciała,

$F$ - wartość siły wypadkowej działającej na ciało,

$m$ - masa ciała.

Wiemy również, że wartość natężenia pola grawitacyjnego w określonym punkcie przestrzeni wyraża wzór:

$\gamma =\frac{F_g}{m}$

gdzie:

$\gamma$ - wartość natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie,

$F_g$ - wartość siły grawitacji działającej na ciało umieszczone w tym punkcie.

Korzystając z powyższych wzorów możemy stwierdzić, że jeżeli ciało porusza się wyłącznie pod wpływem działania siły grawitacji, to wartość jego przyspieszenia jest równa wartości natężenia pola w tym punkcie:

$a=\gamma$

Natężenie w punkcie P będzie sumą natężeń pól grawitacyjnych pochodzących od Ziemi oraz Księżyca:

${\gamma }_1={\gamma }_{1Z}+{\gamma }_{1K}$

gdzie:

${\gamma }_1$ - wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego,

${\gamma }_{1Z}$ - natężenie pola grawitacyjnego Ziemi w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego,

${\gamma }_{1K}$ - natężenie pola grawitacyjnego Księżyca w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego.

Otrzymujemy wówczas, że przyspieszenie ciała w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego będzie miało postać:

$a_1={\gamma }_{1Z}+{\gamma }_{1K}$  

gdzie:

$a_1$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego.

Wektor natężenia pola grawitacyjnego zwrócony jest w stronę ciała wytwarzającego to pole i styczny do linii pola grawitacyjnego. Wartość natężenia centralnego pola grawitacyjnego wytworzonego przez Ziemię zapiszemy jako:

${\gamma }_{1Z}=\frac{G{M}_Z}{R^2}$

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi, 

$R$ - odległość punktu P od Ziemi. 

Wartość natężenia pola wytworzonego przez Księżyc zapiszemy jako:

${\gamma }_{1K}=\frac{G{M}_K}{{\left(R-r_1\right)}^2}$

gdzie:

$M_K$ - masa Księżyca,

$r_1$ - odległość między Ziemią a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego.

Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać:

$a_1=\frac{G{M}_Z}{R^2}+\frac{G{M}_K}{{\left(R-r_1\right)}^2}$  

$a_1=G\left(\frac{M_Z}{R^2}+\frac{M_K}{{\left(R-r_1\right)}^2}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_1=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{{\left(45\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{{\left(45\cdot {10}^7\text{m}-15\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2025\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{{\left(30\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}\right)=$

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2025\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{900\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2,025\cdot {10}^{17}{\text{m}}^2}+\frac{73,5\cdot {10}^{21}\text{kg}}{9\cdot {10}^{16}{\text{m}}^2}\right)\approx$

$\approx 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(2,963\cdot {10}^7\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}+8,167\cdot {10}^5\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(296,3\cdot {10}^5\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}+8,167\cdot {10}^5\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}\right)=$

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 304,467\cdot {10}^5\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}=2030,79489\cdot {10}^{-6}\frac{\text{N}}{\text{kg}}=$

$=20,3079489\cdot {10}^{-4}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\text{kg}}\approx 20,3\cdot {10}^{-4}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$   

 

Analogicznie, wartość przyspieszenia ciała w punkcie P obecnie będzie miało postać:

$a_2={\gamma }_2$

gdzie:

$a_2$ - wartość przyspieszenia w punkcie P obecnie,

${\gamma }_2$ - wartość wypadkowego natężenia pola grawitacyjnego w punkcie P obecnie.

Natężenie w punkcie P będzie sumą natężeń pól grawitacyjnych pochodzących od Ziemi oraz Księżyca:

${\gamma }_2={\gamma }_{2Z}+{\gamma }_{2K}$

gdzie:

${\gamma }_{2Z}$ - natężenie pola grawitacyjnego Ziemi w punkcie P obecnie,

${\gamma }_{2K}$ - natężenie pola grawitacyjnego Księżyca w punkcie P obecnie.

Z tego wynika, że:

$a_2={\gamma }_{2Z}+{\gamma }_{2K}$

Natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi się nie zmienia, natomiast natężenie pochodzące od Księżyca zapiszemy jako:

${\gamma }_{2K}=\frac{G{M}_K}{{\left(R-r_2\right)}^2}$

gdzie:

$r_2$ - obecna odległość między Ziemią a Księżycem.

Zatem:

$a_2=\frac{G{M}_Z}{R^2}+\frac{G{M}_K}{{\left(R-r_2\right)}^2}$  

$a_2=G\left(\frac{M_Z}{R^2}+\frac{M_K}{{\left(R-r_2\right)}^2}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_2=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{{\left(45\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{{\left(45\cdot {10}^7\text{m}-38\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2025\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{{\left(7\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}\right)=$

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2025\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{49\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2,025\cdot {10}^{17}{\text{m}}^2}+\frac{7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}}{4,9\cdot {10}^{15}{\text{m}}^2}\right)\approx$

$\approx 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot \left(2,963\cdot {10}^7\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}+1,5\cdot {10}^7\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}\right)=$  

$=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 4,463\cdot {10}^7\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}$  

$=29,76821\cdot {10}^{-4}\frac{\text{N}}{\text{kg}}=29,76821\cdot {10}^{-4}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\text{kg}}\approx 29,8\cdot {10}^{-4}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Porównajmy przyspieszenia tych przedmiotów:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{29,8\cdot {10}^{-4}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{20,3\cdot {10}^{-4}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$  

$\frac{a_2}{a_1}\approx 1,5$    

Odpowiedź: Przyspieszenie przedmiotu znajdującego się obecnie w punkcie P jest około 1,5 razy większe niż przyspieszenie tego przedmiotu na początku istnienia Układu Słonecznego.

 

$4.4.$   

W zadaniu podane mamy, że:

$E=2\cdot {10}^{17}\text{J}$  

Zakładamy, że całkowita energia zdetonowanej bomby wpływa na Księżyc. Potencjałem pola grawitacyjnego $V\left(r\right)$   w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

$V\left(r\right)=\frac{E_p}{m}$  

gdzie $V\left(r\right)$   jest potencjałem, $E_p$   jest energia potencjalną, $m$   jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna gwiazd krążących wokół wspólnego środka masy będzie miała postać:

$E_p=V\left(r\right)\cdot m$  

 

Potencjał pola grawitacyjnego $V\left(r\right)$   w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

$V\left(r\right)=-\frac{G\cdot M}{r}$  

gdzie $G$   jest stałą grawitacji, $V\left(r\right)$   jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie $M$   w odległości $r$   od tego ciał. Z tego wynika, że energia potencjalna układu będzie miała postać:

$E_p=V\left(r\right)\cdot m$  

$E_p=-\frac{G\cdot M}{R}\cdot m$  

$E_p=-\frac{G\cdot M\cdot m}{R}$

 

Wówczas praca wykonana przez bombę przy zmianie orbity Księżyca powinna być równa jego zmianie energii potencjalnej. Energia potencjalna układu Ziemia - Księżyc przed wybuchem bomby wynosi: 

$E_{p1}=-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_2}$  

Energia potencjalna układu Ziemia - Księżyc po wybuchu bomby wynosiłaby:

$E_{p2}=-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_3}$  

 

gdzie $r_3$   jest nowym promieniem orbity po wybuchu. Wówczas zakładając, tak jak na początku, że całkowita energia wybuchu zostaje zużyta na zmianę energii potencjalnej Księżyca otrzymujemy, że:

$E=E_{p2}-E_{p1}$  

$E=-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_3}-\left(-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_2}\right)$  

$E=-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_3}+\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_2}$  

$E=\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_2}-\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_3}$  

$E=G{M}_K{M}_Z\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right)$  

 

Wyznaczmy z tego równanie nową orbitę Księżyca:

$E=G{M}_K{M}_Z\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right)\mid :G{M}_K{M}_Z$  

$\frac{E}{G{M}_K{M}_Z}=\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}$  

$\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}=\frac{E}{G{M}_K{M}_Z}\mid -\frac{1}{r_2}$  

$-\frac{1}{r_3}=-\frac{1}{r_2}+\frac{E}{G{M}_K{M}_Z}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}-\frac{E}{G{M}_K{M}_Z}$  

$\frac{1}{r_3}=\frac{G{M}_K{M}_Z}{r_{2}G{M}_K{M}_Z}-\frac{E{r}_2}{r_{2}G{M}_K{M}_Z}$  

$\frac{1}{r_3}=\frac{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}{r_{2}G{M}_K{M}_Z}$  

 Z tego wynika, że:

$r_3=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

 

Wartość odległości na jaką został oddalony księżyc po wybuchy będzie wynosiła:

$\Delta r=r_3-r_2$  

$\Delta r=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}-r_2$  

$\Delta r=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}-\frac{r_2\left(G{M}_K{M}_Z-E{r}_2\right)}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

$\Delta r=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}-\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z-E{r}_2^2}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

$\Delta r=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z-\left(r_{2}G{M}_K{M}_Z-E{r}_2^2\right)}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

$\Delta r=\frac{r_{2}G{M}_K{M}_Z-r_{2}G{M}_K{M}_Z+E{r}_2^2}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

$\Delta r=\frac{E{r}_2^2}{G{M}_K{M}_Z-E{r}_2}$  

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta r=\frac{2\cdot {10}^{17}\text{J}\cdot {\left(38\cdot {10}^7\text{m}\right)}^2}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 6\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot 7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}-2\cdot {10}^{17}\text{J}\cdot 38\cdot {10}^7\text{m}}=\frac{2\cdot {10}^{17}\text{J}\cdot 1444\cdot {10}^{14}{\text{m}}^2}{294,147\cdot {10}^{35}\text{N}\cdot {\text{m}}^2-76\cdot {10}^{24}\text{J}\cdot \text{m}}=$   

$=\frac{2888\cdot {10}^{31}\text{J}\cdot {\text{m}}^2}{294,147\cdot {10}^{35}\text{J}\cdot \text{m}-76\cdot {10}^{24}\text{J}\cdot \text{m}}\approx \frac{2888\cdot {10}^{31}\text{J}\cdot {\text{m}}^2}{294,147\cdot {10}^{35}\text{J}\cdot \text{m}}\approx 9,8\cdot {10}^{-4}\text{m}\approx$  

$\approx 0,00098\text{m}=0,98\text{mm}$  

 

Z tego wynika, że zmiana odległości jest tak mała, że możemy ją pominąć. Zwróćmy uwagę na fakt, że zostało przyjęte, że cała energia wybuchu została zamieniona na pracę, która zmieni położenie Księżyca. Pominięto fakt, że energia w trakcie wybuchu zostanie wytracona na chociażby ciepło wydzielone przy wybuchu. Oznacza to, że orbita Księżyca nie zwiększy się na skutek takiej eksplozji.