Dane:

$R_Z=6371\text{km}=6371\cdot {10}^3\text{m}=6,371\cdot {10}^6\text{m}$  

$M_Z=5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

$R_K=1738\text{km}=1738\cdot {10}^3\text{m}=1,738\cdot {10}^6\text{m}$  

$M_K=7,35\cdot {10}^{22}\text{kg}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$,

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}$.

 

$2.1.$  

Dane:

$h_p=185\text{km}=185\cdot {10}^3\text{m}=1,85\cdot {10}^5\text{m}$  

$v_e=10,943\frac{\text{km}}{\text{s}}=10,943\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=1,0943\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Szukane:

$\Delta v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Na statek będzie działa siła grawitacji pełniąca rolę siły dośrodkowej. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji,

$G$  - stała grawitacji,

$m_1$ i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Wówczas siłę grawitacji działającą na rakietę i ziemię przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m{M}_Z}{{\left(R_Z+h_p\right)}^2}$    

Siłę dośrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Wówczas siła dośrodkowa działająca na rakietę będzie miała postać:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R_Z+h_p}$

Porównując siłę grawitacji z dośrodkową do siebie otrzymujemy zależność, z której wyznaczamy prędkość nadawaną rakiecie przez silniki:

$F_d=F_g$  

$\frac{m{v}^2}{R_Z+h_p}=G\cdot \frac{m{M}_Z}{{\left(R_Z+h_p\right)}^2}\mid \cdot \left(R_Z+h_p\right)$

$m{v}^2=G\cdot \frac{m{M}_Z}{R_Z+h_p}\mid :m$

$v^2=\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}\mid \sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}}$

 

Wówczas przyrost prędkości będzie wynosił:

$\Delta v=v_e-v$  

$\Delta v=v_e-\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta v=1,0943\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}}{6,371\cdot {10}^6\text{m}+1,85\cdot {10}^5\text{m}}}=$  

$=1,0943\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{\text{kg}}}{63,71\cdot {10}^5\text{m}+1,85\cdot {10}^5\text{m}}}=$  

$=1,0943\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}-\sqrt{\frac{398,199\cdot {10}^{12}\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{\text{kg}}}{65,56\cdot {10}^5\text{m}}}=$