$1.1.$  

Na sondę krążącą po orbicie planetoidy będzie oddziaływała siła grawitacji, która będzie pełniła rolę siły dośrodkowej. Siłę oddziaływania grawitacyjnego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_g=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$  

gdzie $F_g$   jest siła oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami o masach $m_1$   i $m_2$  , które znajdują się w odległości $r$   od siebie, $G$   jest stałą grawitacyjną. W naszym przypadku oddziałującymi ze sobą ciałami jest sonda o masie $m$   i planetoida o masie $M$  , które znajdują się w odległości $r$   od siebie. Wówczas dla naszego przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_g=G\frac{mM}{r^2}$  

 

Siłę dośrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie $F_d$   jest siłą dośrodkową działającą na ciało o masie $m$   poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu $r$  . Dla naszego przypadku siła odśrodkowa działająca na sondę poruszającą się po orbicie planetoidy ma postać:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$   

 

Wiemy, że prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$  

gdzie $v$   jest prędkością liniową ciała, $\omega$   jest prędkością kątową ciała, $r$   jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie $\omega$   jest prędkością kątową, $T$   jest okresem ruchu ciała. Wówczas porównując wzory na siły grawitacji i dośrodkową wyznaczamy masę planetoidy:

$F_g=F_d$  

$G\frac{mM}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\mid :m$    

$G\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\mid \cdot r^2$    

$GM=v^{2}r$    

$GM={\left(\omega r\right)}^{2}r$    

$GM={\omega }^2{r}^{2}r$    

$GM={\omega }^2{r}^3\mid :G$    

$M=\frac{{\omega }^2{r}^3}{G}$    

$M=\frac{{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2{r}^3}{G}$    

$M=\frac{\frac{4{\pi }^2}{T^2}{r}^3}{G}$    

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$  

 

Przyjmując, że planetoida jest kulą o promieniu $R$   jej objętość możemy przedstawić wzorem:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$  

 

Gęstość ciała obliczamy korzystając z wzoru:

$d=\frac{m}{V}$  

gdzie $d$   jest gęstością ciała, $m$   jest jego masą, $V$   jest jego objętością. Wówczas otrzymujemy, że gęstość planetoidy wynosi:

$d=\frac{M}{V}$  

$d=\frac{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$  

$d=\frac{\frac{\pi r^3}{G{T}^2}}{\frac{1}{3}{R}^3}$  

$d=\frac{3\pi r^3}{G{T}^2{R}^3}$  

gdzie $r$   jest promieniem orbity planetoidy, $G$   jest stałą grawitacyjną, $T$   jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, $R$   jest promieniem planetoidy.

 

$1.2.$  

W tabeli podano liczbę okrążeń oraz czas trwania tych okrążeń. Oznaczmy sobie liczbę okrążeń jako $n$  , a czas trwania ruchu jako $t$  . Pytamy o okres ruchu, czyli czas trwania jednego okrążenie. Korzystając z metody proporcji możemy zapisać, że:

$\begin{array}{l}n----t\\ 1----T\end{array}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$T=\frac{t}{n}$  

Wówczas dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

$\text{dla }{R}_1=3001\text{km}\text{ mamy: }{n}_1=7\text{ i }{t}_1=3\text{tygodnie}=21\text{dni}$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_1=\frac{t_1}{n_1}\Rightarrow T_1=\frac{21\text{dni}}{7}=3\text{dni}$  

$\text{dla }{R}_2=941\text{km}\text{ mamy: }{n}_2=2\text{ i }{t}_2=1\text{dzienˊ}=24\text{h}$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_2=\frac{t_2}{n_2}\Rightarrow T_2=\frac{24\text{h}}{2}=12\text{h}$  

$\text{dla }{R}_3=442\text{km}\text{ mamy: }{n}_3=1\text{ i }{t}_3=4\text{h}$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_3=\frac{t_3}{n_3}\Rightarrow T_3=\frac{4\text{h}}{1}=4\text{h}$  

 

$1.3.$  

W podpunkcie podane mamy, że:

$R=265\text{km}=265\cdot {10}^3\text{m}=2,65\cdot {10}^5\text{m}$

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

 

Z podpunktu 1.1. wiemy, że gęstość planetoidy możemy obliczyć ze wzoru:

$d=\frac{3\pi r^3}{G{T}^2{R}^3}$  

gdzie $r$   jest promieniem orbity planetoidy, $G$   jest stałą grawitacyjną, $T$   jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, $R$   jest promieniem planetoidy. Z tego wynika, że dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

 

$\text{dla orbity 1: }{r}_1=3001\text{km}=3001\cdot {10}^3\text{m}=3,001\cdot {10}^6\text{m}\text{ oraz }{T}_1=3\text{dni}=72\text{h}=259200\text{s}=2,592\cdot {10}^5\text{s}$  

$\text{woˊwczas mamy: }{d}_1=\frac{3\pi r_1^3}{G{T}_1^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_1=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(3,001\cdot {10}^6\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot {\left(2,592\cdot {10}^5\text{s}\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^5\text{m}\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 27\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 6,718\cdot {10}^{10}{\text{s}}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}\approx$   

$\approx \frac{254,34\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{833,4\cdot {10}^{14}\frac{\text{N}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{254,34\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{83,34\cdot {10}^{15}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{254,34\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{83,34\cdot {10}^{15}\frac{{\text{m}}^6}{\text{kg}}}\approx 3,052\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=3,052\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^3\text{g}}{{10}^6{\text{cm}}^3}\approx 3,1\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

 

$\text{dla orbity 2: }{r}_2=941\text{km}=941\cdot {10}^3\text{m}=9,41\cdot {10}^5\text{m}\text{ oraz }{T}_2=12\text{h}=43200\text{s}=4,32\cdot {10}^4\text{s}$  

$\text{woˊwczas mamy: }{d}_2=\frac{3\pi r_2^3}{G{T}_2^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_2=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(9,41\cdot {10}^5\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot {\left(4,32\cdot {10}^4\text{s}\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^5\text{m}\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 833\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 18,6624\cdot {10}^8{\text{s}}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}\approx$   

$\approx \frac{7846,86\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}{2315\cdot {10}^{12}\frac{\text{N}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{7,84686\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{2,315\cdot {10}^{15}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{7,84686\cdot {10}^{18}{\text{m}}^3}{2,315\cdot {10}^{15}\frac{{\text{m}}^6}{\text{kg}}}\approx$  

$\approx 3,38957\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=3,38957\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^3\text{g}}{{10}^6{\text{cm}}^3}\approx 3,4\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

 

$\text{dla orbity 3: }{r}_3=442\text{km}=442\cdot {10}^3\text{m}=4,42\cdot {10}^5\text{m}\text{ oraz }{T}_3=4\text{h}=14400\text{s}=$  

$=1,44\cdot {10}^4\text{s}$  

$\text{woˊwczas mamy: }{d}_3=\frac{3\pi r_3^3}{G{T}_3^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_3=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(4,42\cdot {10}^5\text{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot {\left(1,44\cdot {10}^4\text{s}\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^5\text{m}\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 86,35\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 2,0736\cdot {10}^8{\text{s}}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}\approx$   

$\approx \frac{813,417\cdot {10}^{15}{\text{m}}^3}{257\cdot {10}^{12}\frac{\text{N}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{8,13417\cdot {10}^{17}{\text{m}}^3}{2,57\cdot {10}^{14}\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\text{s}}^2\cdot {\text{m}}^5}{{\text{kg}}^2}}=\frac{8,13417\cdot {10}^{17}{\text{m}}^3}{2,57\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^6}{\text{kg}}}\approx 3,165\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=3,165\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^3\text{g}}{{10}^6{\text{cm}}^3}\approx 3,2\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

 

Obliczamy średnią gęstość planetoidy:

$d_{\text{sˊr}}=\frac{d_1+d_2+d_3}{3}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_{\text{sˊr}}=\frac{3,1\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}+3,4\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}+3,2\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}}{3}=\frac{9,7\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}}{3}\approx 3,23333\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\approx 3,2\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

 

Uzupełniamy tabelę:

Orbita	Promień orbity  $r\left[\text{km}\right]$	Okres	Gęstość   $\left[\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\right]$
1.Biegunowa	3 001	3 dni	3,1
2.	941	12 h	3,4
3. Niska	442	4 h	3,2

$1.4.$  

Otrzymana gęstość średnia to:

$d_{\text{sˊr}}=3,2\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

W zadaniu podano, że gęstość Westy wynosi:

$d=\left(3,3\pm 0,5\right)\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

Sprawdzamy, czy otrzymana wartość mieści się w granicach błędu pomiaru:

$d_{\text{min}}=3,3\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}-0,5\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}=2,8\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$   

$d_{\text{max}}=3,3\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}+0,5\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}=3,8\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

Zauważmy, że:

$d_{\text{min}}<d_{\text{sˊr}}<d_{\text{max}}$  

Z tego wynika, że otrzymana wartość zgadza się w granicach błędu z wartością wyznaczoną na podstawie obserwacji.