Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$h_a=66000\text{km}$

$h_p=250\text{km}$   

$h=250\text{km}=250000\text{m}=2,5\cdot {10}^5\text{m}$

$v_a=3,09\frac{\text{km}}{\text{s}}=3,09\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$M=4,9\cdot {10}^{24}\text{kg}$

$R=6052\text{km}=6052000\text{m}=60,52\cdot {10}^5\text{m}$   

Stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

 

a)

Sonda początkowo poruszała się po orbicie eliptycznej wokół Wenus. Drugie prawo Keplera mówi nam, że promień wodzący ciała na orbicie zakreśla w równych odstępach czasu równe pole. Oznacza to, że sonda znajdując się bliżej Wenus porusza się szybciej. Moment pędu sondy w ruchu orbitalnym wokół Wenus musi być zachowany.

Moment pędu $L$   wyrażamy jako:

$L=r\cdot m\cdot v$  

$r-\text{promienˊ orbity}$

$m-\text{masa ciała}$

$v-\text{prędkosˊcˊ ciała}$    

 

Moment pędu sondy znajdującej się najdalej Słońca wynosi:

$L_a=r_a\cdot m\cdot v_a$  

Natomiast moment pędu sondy znajdującej się najbliżej Słońca wynosi:

$L_p=r_p\cdot m\cdot v_p$  

 

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_p=L_a$  

$r_p\cdot m\cdot v_p=r_a\cdot m\cdot v_a\mid :m$  

$r_p\cdot v_p=r_a\cdot v_a$

Stąd prędkość sondy w perycentrum $v_p$   będzie równa:

$v_p=\frac{r_a{v}_a}{r_p}$

$v_p=\frac{\left(h_a+R\right)\cdot v_a}{h_p+R}$  

$v_p=\frac{\left(66000\text{km}+6052\text{km}\right)\cdot 3,09\frac{\text{km}}{\text{s}}}{250\text{km}+6052\text{km}}=\frac{222640,68\frac{{\text{km}}^2}{\text{s}}}{6302\text{km}}=35,33\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

 

Kiedy sonda wejdzie na orbitę kołową siła grawitacji $F_g$   działająca na sondę pełni rolę siły dośrodkowej $F_d$  . 

Siłę dośrodkową działającą na sondę wyrazimy jako:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$

$m-\text{masa sondy}$   

$v-\text{prędkosˊcˊ z jaką porusza się sonda na orbicie}$

$r-\text{promienˊ orbity}$   

 

Siłę grawitacji działającą na sondę wyrazimy jako:

$F_g=G\frac{mM}{r^2}$  

$G-\text{stała grawitacji}$

$M-\text{masa Wenus}$   

 

Porównajmy siłę grawitacji z siłą dośrodkową:

$F_g=F_d$

$G\frac{mM}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$   

$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}$   

$\frac{GM}{r}=v^2$   

 

Prędkość $v$   z jaką porusza się sonda po orbicie kołowej wynosi:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$  

 

Promień orbity kołowej po jakiej porusza się sonda będzie równy:

$r=h+R$  

 

Stąd:

$v=\sqrt{\frac{GM}{h+R}}$  

$v=\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 4,9\cdot {10}^{24}\text{kg}}{2,5\cdot {10}^5\text{m}+60,52\cdot {10}^5\text{m}}}=\sqrt{\frac{32,683\cdot {10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{63,02\cdot {10}^5\text{m}}}=\sqrt{0,5186\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$

$=0,72\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=0,72\cdot 10\frac{\text{km}}{\text{s}}=7,2\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

 

Zatem prędkość sondy musi zmaleć o:

$\Delta v=v_p-v=35,33\frac{\text{km}}{\text{s}}-7,2\frac{\text{km}}{\text{s}}=28,13\frac{\text{km}}{\text{s}}$   

 

b)

Wiemy, że prędkość $v_2$   z jaką porusza się sonda po orbicie kołowej wynosi:

$v_2=\sqrt{\frac{GM}{r_2}}$  

Promień orbity $r_2$   na jakiej musiałaby znaleźć się sonda, aby poruszać się z zadaną prędkością wyrazimy jako:

$r_2=H+R$

$H-\text{wysokosˊcˊ nad powierzchnią Wenus}$   

$R-\text{promienˊ Wenus}$  

 

Zakładamy, że:

$v_2=v_a$

Zatem:

$v_a=\sqrt{\frac{GM}{H+R}}$  

$v_a^2=\frac{GM}{H+R}$  

$v_a^2\cdot \left(H+R\right)=GM$

$H+R=\frac{GM}{v_a^2}$

$H=\frac{GM}{v_a^2}-R$    

 

Wysokość na jakiej musiałaby znaleźć się sonda będzie równa:

$H=\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 4,9\cdot {10}^{24}\text{kg}}{{\left(3,09\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}-6052000\text{m}=\frac{32,683\cdot {10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{9,5481\cdot {10}^6\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}-6052000\text{m}=$  

$=3,42\cdot {10}^7\text{m}-6052000\text{m}=34200000\text{m}-6052000\text{m}=28148000\text{m}=28148\text{km}$