$\mathbf{a})$  

Szukane:

$T=?$

$f=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest określenie okresu i częstotliwości na podstawie wykresu dołączonego do zadania. Na początku w wykresu możemy odczytać okres zmian napięcia w czasie:

Z wykresu odczytujemy, że okres napięcia wynosi:

$T=0,02\text{s}$  

Wiemy, że częstotliwość możemy obliczyć jako odwrotność okresu, czyli:

$f=\frac{1}{T}$

gdzie:

$f$ – częstotliwość, 

$T$ – okres. 

Wówczas częstotliwość będzie wynosiła:

$f=\frac{1}{0,02\text{s}}=\frac{100}{2}\frac{1}{\text{s}}=50\text{Hz}$

Odpowiedź: Okres wynosi 0,02 s, a częstotliwość 50 Hz.

 

$\mathbf{b})$  

Dane w podpunkcie:

$R=1\text{k}\Omega =1000\Omega$

Szukane:

$E=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie energii wydzielonej na oporniku w trakcie jednego cyklu. Energię tą możemy wyznaczyć jako iloczyn mocy wydzielonej na oporniku i czasu, czyli w naszym przypadku jednego okresu:

$E=PT$

gdzie:

$E$ – energia wydzielona na oporniku, 

$P$ – moc opornika, 

$T$ – czas odpowiadający jednemu okresowi.

Moc opornika przedstawimy wzorem:

$P=\frac{U_{\max }^2}{R}$

gdzie:

$U_{\text{max}}$ – maksymalne napięcie na oporniku, 

$R$ – opór opornika. 

Wówczas energia wydzielona na oporniku wynosi:

$E=PT$

$E=\frac{U_{\max }^2}{R}\cdot T$

$E=\frac{U_{\max }^{2}T}{R}$

Z wykresu dołączonego do zadania wynika, że:

Wówczas:

$U_{\max }=20\text{V}$

$T=0,02\text{s}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=\frac{{\left(20\text{V}\right)}^2\cdot 0,02\text{s}}{1000\Omega }=\frac{400{\text{V}}^2\cdot 0,02\text{s}}{1000\Omega }=$

$=\frac{8{\text{V}}^2\cdot \text{s}}{1000\Omega }=\frac{8\text{V}\cdot \text{V}\cdot \text{s}}{1000\Omega }=\frac{8\text{V}\cdot \text{A}\cdot \cancel{\Omega }\cdot \text{s}}{1000\cancel{\Omega }}=$

$=0,008\text{V}\cdot \text{A}\cdot \text{s}=0,008\text{J}=8\text{mJ}$

Odpowiedź: Na oporniku w czasie jednego cyklu wydzieliło się 8 mJ.

 

$\mathbf{c})$  

Z wykresy dołączonego do zadania wiemy, że w ciągu jednego okresu zależność napięcia od czasu ma postać:

$U\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}20\text{V}& ,t\in ⟨0\text{s};0,01\text{s}⟩\\ -20\text{V}& ,t\in (0,01\text{s};0,02\text{s}⟩\end{array}$

Wiemy, że w ogólnym przypadku zależność mocy od napięcia i znanego nam oporu odbiornika ma postać:

$P=\frac{U^2}{R}$

Wówczas:

$P\left(t\right)=\frac{{\left[U\left(t\right)\right]}^2}{R}$

Wiemy, że $R=1000\Omega$, czyli wówczas:

$P\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\left(20\text{V}\right)}^2}{1000\Omega }& ,t\in ⟨0\text{s};0,01\text{s}⟩\\ \frac{{\left(-20\text{V}\right)}^2}{1000\Omega }& ,t\in (0,01\text{s};0,02\text{s}⟩\end{array}$

$P\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{400{\text{V}}^2}{1000\frac{\text{V}}{\text{A}}}& ,t\in ⟨0\text{s};0,01\text{s}⟩\\ \frac{400{\text{V}}^2}{1000\frac{\text{V}}{\text{A}}}& ,t\in (0,01\text{s};0,02\text{s}⟩\end{array}$

$P\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,4\text{V}\cdot \text{A}& ,t\in ⟨0\text{s};0,01\text{s}⟩\\ 0,4\text{V}\cdot \text{A}& ,t\in (0,01\text{s};0,02\text{s}⟩\end{array}$

Zatem:

$P\left(t\right)=0,4\text{W},t\in ⟨0\text{s};0,02\text{s}⟩$

 Wykonajmy wykres:

 

$d)$  

Praca prądu w czasie $T$   jest równa polu powstałego prostokąta o pionowym boku:

$a=\frac{U_{\text{max}}^2}{R}$  

oraz o poziomym boku:

$b=T$  

Wówczas otrzymujemy, że praca wykonana przez prąd wynosi:

$W=a\cdot b$  

$W=\frac{U_{\text{max}}^2}{R}\cdot T$  

Taką samą moc miałby prąd stały o napięciu skutecznym $U_{\text{sk}}$  , a ponieważ jego moc wynosiłaby:

$P=\frac{U_{\text{sk}}^2}{R}$  

Oznacza to, że praca, którą by wykonał miałaby postać:

$W{}^{\prime }=\frac{U_{\text{sk}}^2}{R}\cdot T$  

Porównajmy wzoru:

$W{}^{\prime }=W$  

$\frac{U_{\text{sk}}^2}{R}\cdot T=\frac{U_{\text{max}}^2}{R}\cdot T\mid \cdot R$  

$U_{\text{sk}}^2\cdot T=U_{\text{max}}^2\cdot T\mid :T$  

$U_{\text{sk}}^2=U_{\text{max}}^2\mid \sqrt{}$  

$U_{\text{sk}}=U_{\text{max}}$  

$U_{\text{sk}}=20\text{V}$