Energia kinetyczna cząstki α opuszczającej pole magnetyczne

Wiemy, że energię kinetyczną obliczamy korzystając z wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. W zadaniu podane mamy, że:

$m=6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$v=2,45\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Wówczas energia kinetyczna będzie miała wartość:

$E_k=\frac{6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot {\left(2,45\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2}=\frac{6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot 6,0025\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{2}=$  

$=\frac{39,916625\cdot {10}^{-27+14}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{2}=\frac{39,916625\cdot {10}^{-13}\text{J}}{2}=19,9583125\cdot {10}^{-13}\text{J}=$

$=1,99583125\cdot 10\cdot {10}^{-13}\text{J}\approx 2\cdot {10}^{-12}\text{J}$        

 

Zmiana pędu cząstki

Wiemy, że pęd opisujemy wzorem:

$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$  

gdzie p jest pędem ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Cząstka wychodząc z pola magnetycznego ma wektor prędkości zwrócony w przeciwną stronę niż w momencie wejścia w pole. Wówczas otrzymujemy, że pęd wchodzącej cząstki ma postać:

$p=m\cdot v$  

Natomiast pęd wychodzącej cząstki ma postać:

$p{}^{\prime }=m\cdot \left(-v\right)\Rightarrow p{}^{\prime }=-m\cdot v$  

Wówczas zmiana pędu wynosi:

$\Delta p=p-p{}^{\prime }$  

$\Delta p=m\cdot v-\left(-m\cdot v\right)$  

$\Delta p=m\cdot v+m\cdot v$  

$\Delta p=2\cdot m\cdot v$  

Z zadania wiemy, że:

$m=6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$v=2,45\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta p=2\cdot 6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot 2,45\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}=32,585\cdot {10}^{-27+7}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 32,6\cdot {10}^{-20}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}$   

 

Czas przebywania cząstki α w polu magnetycznym

Na cząstkę w polu magnetycznym działa siła Lorentza, którą wyrażamy wzorem:

$F_L=q\cdot \left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)$   

gdzie F_L jest siłą Lorentza działającą na ładunek o wartości q poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B. Wektor prędkości cząstki jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej. Wówczas otrzymujemy, że:

$F_L=q\cdot \left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot 1$  

$F_L=q\cdot v\cdot B$  

Na cząstkę działa również siła dośrodkowa, która powoduje, że cząstka porusza się po okręgu. Siłę dośrodkową przedstawiamy wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie F_d jest siłą dośrodkową ciała poruszającego się z prędkością v po okręgu o promieniu r.  Cząstka porusza się po okręgu. Oznacza to, że siła dośrodkowa równoważy siłę Lorentza, otrzymujemy równanie z którego wyznaczamy promień po jakim się porusza się cząstka:

$F_L=F_d$  

$q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^2}{r}\mid :v$  

$q\cdot B=\frac{m\cdot v}{r}\mid \cdot r$  

$q\cdot B\cdot r=m\cdot v\mid :\left(q\cdot B\right)$  

$r=\frac{m\cdot v}{q\cdot B}$    

Cząstka porusza się po pół okręgu oznacza to, że jej drogę możemy obliczyć korzystając z wzoru na długość okręgu, pamiętając, że bierzemy tylko połowę długości okręgu: 

$s=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r$  

$s=\pi r$  

Następnie korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym i wyznaczamy z niego czas:

$v=\frac{s}{t}\mid \cdot t$  

$v\cdot t=s\mid :v$  

$t=\frac{s}{v}$  

gdzie t jest czasem, s jest drogą, v jest prędkością. Wówczas otrzymujemy, że czas obliczymy korzystając z wzoru:

$t=\frac{s}{v}$  

$t=\frac{\pi r}{v}$  

$t=\frac{\pi \cdot \frac{m\cdot v}{q\cdot B}}{v}$  

$t=\frac{\pi \cdot m\cdot v}{v\cdot q\cdot B}$  

$t=\frac{\pi \cdot m}{q\cdot B}$  

Z zadania wiemy, że:

$q=+2e\Rightarrow q\cdot 2\cdot 1,36\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

$m=6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$B=0,1\text{T}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{3,14\cdot 6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{2\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\cdot 0,1\text{T}}=\frac{20,881\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{3,2\cdot {10}^{-19}\text{C}\cdot 0,1\frac{\text{kg}}{\text{C}\cdot \text{s}}}=\frac{20,881\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{0,32\cdot {10}^{-19}\frac{\text{kg}}{\text{s}}}=$  

$=65,253125\cdot {10}^{-27-\left(-19\right)}\text{s}=6,5253125\cdot 10\cdot {10}^{-8}\text{s}=6,5253125\cdot {10}^{-7}\text{s}\approx 6,5\cdot {10}^{-7}\text{s}$        

 

Promienie zataczane przez cząstkę α i proton.

Z wcześniejszych obliczeń wiemy, że promień zataczany przez cząstkę α możemy obliczyć z wzoru:

$r=\frac{m\cdot v}{q\cdot B}$  

Wówczas promień dla cząstki α będzie miał postać:

$r_{\alpha }=\frac{m_{\alpha }\cdot v}{q_{\alpha }\cdot B}$  

Promień zatoczony przez proton będzie miał postać:

$r_p=\frac{m_p\cdot v}{q_p\cdot B}$  

Z zadania wiemy, że:

$q_{\alpha }=+2e$  

$m=6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

Z tablic fizycznych wiemy, że ładunek i masa protonu wynoszą:

$q_p=+e$  

$m_p=1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

Wówczas otrzymujemy, że stosunek promienia zataczanego przez cząstkę α do promienia zataczanego przez proton będzie miał postać:

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{\frac{m_{\alpha }\cdot v}{q_{\alpha }\cdot B}}{\frac{m_p\cdot v}{q_p\cdot B}}$  

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{m_{\alpha }\cdot v}{q_{\alpha }\cdot B}\cdot \frac{q_p\cdot B}{m_p\cdot v}$  

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{m_{\alpha }\cdot v}{2\cdot e\cdot B}\cdot \frac{e\cdot B}{m_p\cdot v}$  

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{m_{\alpha }}{2\cdot m_p}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{6,65\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{2\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}}$  

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}=\frac{6,65}{3,34}$  

$\frac{r_{\alpha }}{r_p}\approx 2$  

 

Uzupełniamy tabelę:

1.	Energia kinetyczna cząstki α opuszczającej pole magnetyczna jest równa około 2⋅10-12 J.	P
2.	Zmiana pędu cząstki α między chwilą jej wejścia w pole magnetyczne a chwilą jego opuszczania wynosi około 16⋅10-20 (kg⋅m)/s		F
3.	Cząstka α przebywa w polu magnetycznym około 6,5⋅10-7 s.	P
4.	Z tą samą prędkością w pole magnetyczne wlatuje proton. Promień zataczanego przez niego łuku jest około 4 razy mniejszy niż promień łuku zataczanego przez cząstkę α.		F